112學年鷺江國中第3次段考數學 第4題 詳解

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逐步解析

1. 1

   用重心把三角形切成六塊

   $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，三條中線 $\overline{AD}$、$\overline{BE}$、$\overline{CF}$ 把 $\triangle ABC$ 分成六個小三角形，這六塊的面積全部相等。為了好算，令 $\triangle ABC$ 的面積是 $12$，每一小塊就是 $12\div6=2$。
2. 2

   算 (A) 和 (D)

   $\triangle ABG$ 是由 $\triangle AFG$ 與 $\triangle BFG$ 兩小塊拼成的，面積 $=2\times2=4$。四邊形 $BFGD$ 則是由 $\triangle BFG$ 與 $\triangle BGD$ 兩小塊拼成的，面積也是 $2\times2=4$。
3. 3

   算 (C)，注意 H 在哪裡

   $A$、$G$、$D$、$H$ 四點共線，且 $\overline{GD}=\overline{DH}$，所以 $\overline{GH}=\overline{GD}+\overline{DH}=2\overline{GD}$。$\triangle CGD$ 與 $\triangle CDH$ 分別以 $\overline{GD}$、$\overline{DH}$ 為底，共用「$C$ 到直線 $\overleftrightarrow{AD}$ 的距離」這條高，底相等所以面積相等。$\triangle CGD$ 是六小塊之一、面積為 $2$，因此 $\triangle CGH=2+2=4$。
4. 4

   算 (B) 並比大小

   $E$ 是 $\overline{AC}$ 的中點，$\overline{BE}$ 是中線，中線會把 $\triangle ABC$ 分成面積相等的兩半，所以 $\triangle BCE=\dfrac{12}{2}=6$。四個選項的面積依序是 $4$、$6$、$4$、$4$，只有第二個跟其他三個不同。故選 (B)。

關鍵觀念：#重心 #面積比

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