112學年鷺江國中第3次段考數學 第6題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先盤點已經有的條件

   $P$ 在 $\angle ABC$ 的角平分線 $L$ 上，所以 $\angle MBP=\angle NBP$；又 $\overline{BP}$ 是 $\triangle BPM$ 與 $\triangle BPN$ 的公共邊，$\overline{BP}=\overline{BP}$。也就是說，還沒補任何選項之前，我們已經有「一組角＋一組邊」，而且這個邊正好是那組角的其中一邊。
2. 2

   試 (A) 和 (D)

   (A) 若補上 $\overline{BM}=\overline{BN}$，則有 $\overline{BM}=\overline{BN}$、$\angle MBP=\angle NBP$、$\overline{BP}=\overline{BP}$，相等的角夾在兩組相等的邊中間，符合 SAS 全等性質。(D) 若補上 $\angle BPM=\angle BPN$，則有 $\angle MBP=\angle NBP$、$\overline{BP}=\overline{BP}$、$\angle BPM=\angle BPN$，相等的邊夾在兩組相等的角中間，符合 ASA 全等性質。這兩個都證得出來。
3. 3

   試 (C)

   (C) 若補上 $\angle BMP=\angle BNP$，配上原有的 $\angle MBP=\angle NBP$，兩三角形已有兩組對應角相等；再加上公共邊 $\overline{BP}$——它在 $\triangle BPM$ 中是 $\angle BMP$ 的對邊，在 $\triangle BPN$ 中是 $\angle BNP$ 的對邊，位置對應得上，符合 AAS 全等性質，也證得出來。
4. 4

   找出行不通的那一個

   (B) 若補上 $\overline{PM}=\overline{PN}$，我們手上是 $\overline{BP}=\overline{BP}$、$\overline{PM}=\overline{PN}$ 兩組邊，加上 $\angle MBP=\angle NBP$ 這組角；但這個角並不夾在 $\overline{BP}$ 與 $\overline{PM}$ 之間，排法是「邊、邊、角」。SSA 不是全等性質：以 $P$ 為圓心、$\overline{PN}$ 為半徑畫弧，這個弧通常會和 $\overrightarrow{BA}$ 交在兩個不同的點，$M$ 的位置不唯一，兩個三角形不見得全等。故選 (B)。

關鍵觀念：#角平分線 #三角形全等

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