112學年鷺江國中第3次段考數學 第9題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先檢查小秉的算法

   圖(六)中 $\overline{BD}\perp\overline{AC}$（$D$ 處的直角記號），所以以 $\overline{AC}$ 為底時 $\overline{BD}$ 就是高，$\triangle ABC$ 面積 $=\dfrac{1}{2}\times\overline{AC}\times\overline{BD}$；同樣地 $\overline{CE}\perp\overline{AB}$，以 $\overline{AB}$ 為底時 $\overline{CE}$ 是高，$\triangle ABC$ 面積 $=\dfrac{1}{2}\times\overline{AB}\times\overline{CE}$。同一個三角形的面積只有一個值，兩個式子當然可以劃上等號。
2. 2

   把小秉的式子做完

   由 $\dfrac{1}{2}\times\overline{AC}\times\overline{BD}=\dfrac{1}{2}\times\overline{AB}\times\overline{CE}$，兩邊同乘 $2$ 得 $\overline{AC}\times\overline{BD}=\overline{AB}\times\overline{CE}$。已知 $\overline{BD}=\overline{CE}$，而且長度是正數不會是 $0$，兩邊同除以這個相等的長度，得 $\overline{AC}=\overline{AB}$，$\triangle ABC$ 確實是等腰三角形。小秉的推理完全正確。
3. 3

   檢查小孟寫的理由

   小孟列出 $\angle ADB=\angle AEC=90°$、$\overline{BD}=\overline{CE}$、$\angle A=\angle A$，然後寫「RHS 全等性質」。可是 RHS 要求的是「一個直角、斜邊相等、一股相等」：$\triangle ABD$ 的斜邊是 $\overline{AB}$、$\triangle ACE$ 的斜邊是 $\overline{AC}$，而 $\overline{AB}=\overline{AC}$ 正是本題要證的結論，還不能先拿來用。他真正列出的第三個條件 $\angle A=\angle A$ 是一個角，根本不是斜邊。
4. 4

   判斷兩個人的說法

   小孟列的三個條件是「兩組角相等（兩個直角、共用的 $\angle A$）加上一組非夾邊 $\overline{BD}=\overline{CE}$」，這其實符合的是 AAS 全等性質。他最後得到的 $\overline{AB}=\overline{AC}$ 雖然碰巧沒錯，但引用的理由 RHS 條件對不上，這個證明本身不成立。所以小秉正確、小孟錯誤。故選 (B)。

關鍵觀念：#三角形全等 #等腰三角形 #證明

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