112學年鷺江國中第3次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把 B 點的兩個大角拼出來

   由圖(七)，從 $B$ 出發的四條線由左至右依序是 $\overrightarrow{BD}$、$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BE}$、$\overrightarrow{BC}$，所以相鄰的角可以直接相加。$\angle ABC=\angle ABE+\angle EBC=55°+50°=105°$，$\angle DBE=\angle DBA+\angle ABE=50°+55°=105°$，兩個角一樣大。
2. 2

   證出兩個三角形全等

   在 $\triangle ABC$ 與 $\triangle DBE$ 中，$\overline{AB}=\overline{DB}$、$\angle ABC=\angle DBE=105°$、$\overline{BC}=\overline{BE}$，由 SAS 全等性質得 $\triangle ABC\cong\triangle DBE$。因此對應角相等，特別是 $\angle BAC=\angle BDE$。
3. 3

   把交角放進一個三角形裡

   設 $\overline{DE}$ 與 $\overline{AB}$ 交於 $P$ 點。在 $\triangle BPD$ 中，$\angle DBP=\angle DBA=50°$，$\angle BDP=\angle BDE=\angle BAC$，由三角形內角和得 $\angle BPD=180°-50°-\angle BAC=130°-\angle BAC$。
4. 4

   用外角定理收尾

   $\angle APF$ 與 $\angle BPD$ 是對頂角，所以 $\angle APF=130°-\angle BAC$。$P$、$F$、$E$ 在直線 $\overleftrightarrow{DE}$ 上且 $F$ 介於 $P$、$E$ 之間，所以 $\angle AFE$ 是 $\triangle APF$ 在頂點 $F$ 的外角，由外角等於兩內對角和得 $\angle AFE=\angle FAP+\angle APF=\angle BAC+(130°-\angle BAC)=130°$。未知的 $\angle BAC$ 自己抵銷掉了。故選 (A)。

關鍵觀念：#三角形全等 #角度計算

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