112學年鷺江國中第3次段考數學 第8題 詳解

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先看四個步驟各在做什麼

   ① 是把 $a^2-b^2$ 做因式分解，寫成 $(a+b)(a-b)$，這是一個恆等式，隨時可以寫。④ 是把題目給的條件 $a>0$、$b>0$、$a>b$ 抄下來，屬於「已知」。② 是由那些條件推出兩個因式都大於 $0$。③ 是由兩個正數相乘為正，得到 $a^2-b^2>0$，並收尾成「即 $a^2>b^2$」。
2. 2

   找出誰一定放最後

   證明一定要停在「要證的東西」上。題目最後那一行「即 $a^2>b^2$」就是要證的結論，而四個步驟裡只有 ③「故 $a^2-b^2>0$」能直接接上它，所以 ③ 必須排在最後。(A) 的順序 ①→③→④→② 和 (D) 的順序 ④→①→③→② 都以 ② 結尾，證明停在半路上，先淘汰。
3. 3

   比較剩下的兩個順序

   剩下 (B) ①→②→④→③ 和 (C) ①→④→②→③。關鍵在 ② 與 ④ 誰先誰後：② 說「得 $(a+b)>0$，且 $(a-b)>0$」，這兩個不等式是從 ④ 的條件推出來的——由 $a>0$、$b>0$ 得 $a+b>0$；由 $a>b$ 移項得 $a-b>0$。理由 ④ 必須寫在結果 ② 的前面，(B) 卻把 ② 排在 ④ 之前，等於還沒講理由就先下結論，不合格。
4. 4

   確認整條流程走得通

   把 ①→④→②→③ 串起來讀一次：先寫 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，再列出已知 $a>0$、$b>0$、$a>b$，由已知推得 $(a+b)>0$ 且 $(a-b)>0$，兩個正數相乘仍為正，所以 $a^2-b^2>0$，即 $a^2>b^2$。每一步都用得到前一步，邏輯完整無缺。故選 (C)。

關鍵觀念：#代數證明 #不等式