112學年鷺江國中第1次段考數學 第13題 詳解

答案(1) $5$ (2) $20$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先觀察係數的對稱

   $13x+55y=359$ ……① 與 $55x+13y=-19$ ……② 兩式中，$x$ 和 $y$ 的係數剛好對調（一個是 $13$、$55$，另一個是 $55$、$13$）。遇到這種對稱型，「先相加、再相減」會比硬用加減消去法快得多。
2. 2

   兩式相加求 x 加 y

   ①$+$②：$(13x+55x)+(55y+13y)=359+(-19)$，得 $68x+68y=340$，也就是 $68(x+y)=340$，兩邊同除以 $68$ 得 $x+y=5$。所以第 (1) 小題的答案是 $5$。
3. 3

   兩式相減求 y 減 x

   ①$-$②：$(13x-55x)+(55y-13y)=359-(-19)$，得 $-42x+42y=378$，兩邊同除以 $42$ 得 $-x+y=9$，也就是 $y-x=9$。注意右邊是減負十九，等於加上 $19$。
4. 4

   解出 x 與 y

   把 $x+y=5$ 與 $y-x=9$ 相加得 $2y=14$，所以 $y=7$；再代回得 $x=5-7=-2$。驗算：$13\times(-2)+55\times 7=-26+385=359$，$55\times(-2)+13\times 7=-110+91=-19$，兩式都成立。
5. 5

   用相同解求 a

   「有相同解」是指同一組 $x$、$y$ 也要滿足 $\begin{cases}3x-y=-13\\ax+3y=-19\end{cases}$。先檢查第一式：$3\times(-2)-7=-6-7=-13$，成立。再把 $x=-2$、$y=7$ 代入第二式：$a\times(-2)+3\times 7=-19$，即 $-2a+21=-19$，移項得 $-2a=-40$，所以 $a=20$。第 (2) 小題的答案是 $20$。

關鍵觀念：#二元一次聯立方程式 #相同解