112學年鷺江國中第1次段考數學 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   設未知數並列出方程式

   設買書籤 $a$ 張、明信片 $b$ 張。題目說每一種至少買 $1$ 張，所以 $a$、$b$ 都是正整數。書籤一張 $0.6$ 元、明信片一張 $0.8$ 元，總共花 $12$ 元，得 $0.6a+0.8b=12$。
2. 2

   把小數化成整數係數

   兩邊同乘 $10$ 去掉小數：$6a+8b=120$；再同除以 $2$ 化到最簡：$3a+4b=60$。整數係數找起整數解乾淨得多。
3. 3

   看出 a 必須是 4 的倍數

   由 $3a+4b=60$ 移項得 $4b=60-3a$。因為 $60$ 是 $4$ 的倍數、$4b$ 也是 $4$ 的倍數，所以 $3a$ 必須是 $4$ 的倍數；而 $3$ 和 $4$ 互質，因此 $a$ 一定是 $4$ 的倍數。這樣就不必一個一個試到底了。
4. 4

   逐一列出正整數解

   $a=4$ 時 $4b=60-12=48$，$b=12$；$a=8$ 時 $4b=60-24=36$，$b=9$；$a=12$ 時 $4b=60-36=24$，$b=6$；$a=16$ 時 $4b=60-48=12$，$b=3$；$a=20$ 時 $4b=60-60=0$，$b=0$，但每種至少要買 $1$ 張，所以這組不合。$a$ 再大就會使 $b$ 變成負數，不必再試。
5. 5

   數出買法的種數

   符合條件的買法是 $(a,b)=(4,12)$、$(8,9)$、$(12,6)$、$(16,3)$，共 $4$ 種。隨便挑一組代回檢查，例如 $0.6\times 16+0.8\times 3=9.6+2.4=12$ 元，確實剛好花完。所以江小鷺共有 $4$ 種買法。

關鍵觀念：#二元一次方程式 #正整數解 #生活應用