112學年鷺江國中第1次段考數學 第24題 詳解

逐步解析

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   先看清楚這個立體

   原來是一個底面為邊長 $7$ 的正方形、高為 $2$ 的四角柱，中間被一個直徑 $4$ 的圓柱從上到下貫穿挖空。圓柱的半徑是 $4\div 2=2$，高和四角柱一樣是 $2$。
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   第一小題：用相減求體積

   四角柱的體積 $=7\times 7\times 2=98$；被挖掉的圓柱體積 $=\pi\times 2^2\times 2=8\pi$。剩下這個立體的體積就是兩者相減：$98-8\pi$。
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   第二小題：表面有哪幾塊

   挖洞之後，這個立體的表面分成三部分：上、下兩個「挖了圓洞的正方形」，四角柱四周的四個長方形外側面，以及洞的內壁（也就是一個圓柱的側面）。三塊都要算，一塊都不能漏。
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   逐塊算面積

   上、下底面各是邊長 $7$ 的正方形挖掉一個半徑 $2$ 的圓，每面面積 $=7^2-\pi\times 2^2=49-4\pi$，兩面合計 $2(49-4\pi)=98-8\pi$。四個外側面每個是 $7\times 2=14$，四個合計 $4\times 14=56$。洞的內壁是半徑 $2$、高 $2$ 的圓柱側面，攤平後是長方形，長為圓周 $2\pi\times 2=4\pi$、寬為高 $2$，面積 $=4\pi\times 2=8\pi$。
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   相加得表面積

   表面積 $=(98-8\pi)+56+8\pi=98+56=154$。底面挖掉的 $8\pi$ 和內壁補回來的 $8\pi$ 剛好抵消，所以答案是整數。所以 (1) 體積為 $98-8\pi$；(2) 表面積為 $154$。

關鍵觀念：#四角柱 #圓柱 #體積 #表面積 #立體圖形挖空