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112學年鷺江國中第1次段考數學 第20題 詳解

長方體內部兩點最短距離 · 填充 · 題目出處：112 學年度第 2 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如 (圖 6)，有一個長方體盒子，其長、寬、高分別為 88 公分、55 公分、66 公分，若裡面有一隻甲蟲想從 BB 點飛到 HH 點，則此甲蟲飛行的最短距離為何？___ 公分
長方體立體圖，八個頂點分屬上、下兩個四邊形：上面由後至前依序為A（左後）、D（右後）、B（左前）、C（右前），其中上方後邊AD以弧線標示長度8，左側邊AB以弧線標示長度5；下面對應頂點為E（左後，虛線表示被遮擋）、H（右後）、F（左前）、G（右前），左前方鉛直邊BF以弧線標示長度6。B為長方體上面左前方頂點，H為下面右後方頂點，兩點分屬長方體對角、不共稜也不同面。

答案555\sqrt{5}看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    認清 B 和 H 的位置

    由圖上的標示可知，這個長方體的長是 AD‾=8\overline{AD}=8 公分、寬是 AB‾=5\overline{AB}=5 公分、高是 BF‾=6\overline{BF}=6 公分。BB 是上面的左前頂點，HH 是下面的右後頂點，兩點不在同一條稜上、也不在同一個面上，正好是長方體的一組對角頂點。
  2. 2

    甲蟲是飛不是爬

    甲蟲在盒子「裡面」飛，可以直接穿過內部走直線，所以最短距離就是線段 BH‾\overline{BH} 的長度，也就是長方體的體對角線。
  3. 3

    用兩次畢氏定理

    先看下面那個長方形：FF 在 BB 的正下方，FH‾\overline{FH} 是下底面的對角線，兩邊長分別是 88 和 55，由畢氏定理得 FH‾2=82+52=64+25=89\overline{FH}^2=8^2+5^2=64+25=89。再看直角三角形 BFHBFH：BF‾\overline{BF} 是鉛直的稜、FH‾\overline{FH} 躺在下底面上，兩者互相垂直，所以 BH‾2=BF‾2+FH‾2=62+89=36+89=125\overline{BH}^2=\overline{BF}^2+\overline{FH}^2=6^2+89=36+89=125。
  4. 4

    開根號得答案

    BH‾=125=25×5=55\overline{BH}=\sqrt{125}=\sqrt{25\times 5}=5\sqrt{5}。整個過程也可以合併成一個式子：82+52+62=125=55\sqrt{8^2+5^2+6^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}。所以甲蟲飛行的最短距離為 555\sqrt{5} 公分。
答案
555\sqrt{5}

關鍵觀念：#長方體 #空間中最短距離 #畢氏定理

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常見卡點
這題最大的陷阱是把「飛」看成「爬」。課本上更常見的是螞蟻沿著表面爬行、要把盒子攤平再用畢氏定理的題型，很多人一看到長方體就反射性地展開，算成 82+(5+6)2=185\sqrt{8^2+(5+6)^2}=\sqrt{185}；那是沿表面爬的最短路徑，比穿過內部直線飛遠。飛行走的是體對角線：長、寬、高分別記為 aa、bb、cc 時，長度是 a2+b2+c2\sqrt{a^2+b^2+c^2}。另一個常見失誤是只用了兩個邊長，例如算成 82+52=89\sqrt{8^2+5^2}=\sqrt{89}，那只是某一個面的對角線，不是 BH‾\overline{BH}。

還是卡住嗎？

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