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112學年鷺江國中第2學期第3次段考數學 第11題 詳解

共邊三角形邊長判斷 · 單選 · 題目出處：112 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，已知 AB‾\overline{AB} 為 △ABC\triangle ABC、△ABD\triangle ABD 和 △ABE\triangle ABE 共同的邊，若 AC‾=5\overline{AC}=5，BC‾=7\overline{BC}=7，BD‾=8\overline{BD}=8，AE‾=12\overline{AE}=12，AD‾=6\overline{AD}=6，BE‾=4\overline{BE}=4，則下列何者可能為 AB‾\overline{AB} 的長度？
(A) 66
(B) 88
(C) 1111
(D) 1313
$A$、$B$ 為圖中最左、最右的兩個端點，兩點之間以一條線段直接相連（即 $\overline{AB}$）。由 $A$ 出發另有三條分開的線段往右上方延伸，分別連到 $C$、$D$、$E$ 三點——這三條的傾斜程度各不相同，所以 $A$、$C$、$D$ 並不共線；$C$ 是其中最短的一條、位置在 $A$ 與 $D$ 之間偏下。由 $B$ 出發另有兩條線段往左上方延伸：一條連到 $D$（與 $A$ 到 $E$ 的線段互相交叉）、一條連到 $E$。整體看來 $D$、$E$ 分居上方左右兩側，$C$ 在 $D$ 的下方偏左。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    三個三角形共用一邊

    AB‾\overline{AB} 同時是 △ABC\triangle ABC、△ABD\triangle ABD、△ABE\triangle ABE 的一邊，所以它必須同時滿足這三個三角形的三角形不等式：任兩邊之差小於第三邊、任兩邊之和大於第三邊。
  2. 2

    由 △ABC 與 △ABD 取範圍

    △ABC\triangle ABC 中 AC‾=5\overline{AC}=5、BC‾=7\overline{BC}=7，得 ∣7−5∣<AB‾<7+5|7-5|<\overline{AB}<7+5，即 2<AB‾<122<\overline{AB}<12。△ABD\triangle ABD 中 AD‾=6\overline{AD}=6、BD‾=8\overline{BD}=8，得 ∣8−6∣<AB‾<8+6|8-6|<\overline{AB}<8+6，即 2<AB‾<142<\overline{AB}<14。
  3. 3

    由 △ABE 取最後一段

    △ABE\triangle ABE 中 AE‾=12\overline{AE}=12、BE‾=4\overline{BE}=4，得 ∣12−4∣<AB‾<12+4|12-4|<\overline{AB}<12+4，即 8<AB‾<168<\overline{AB}<16。
  4. 4

    取交集並檢查選項

    三段取交集得 8<AB‾<128<\overline{AB}<12。(A) 66 不到 88，△ABE\triangle ABE 圍不起來（4+6=10<124+6=10<12）；(B) 88 恰好等於 ∣12−4∣|12-4|，此時 AA、BB、EE 三點共線，不成三角形；(D) 1313 超過 1212，△ABC\triangle ABC 圍不起來（5+7=12<135+7=12<13）；只有 (C) 1111 三個三角形都成立。故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#三角形邊角關係 #共邊三角形

常見卡點
題目給了六個長度，很多人只挑一兩個三角形算完就下結論——只用 △ABC\triangle ABC 會留下 2<AB‾<122<\overline{AB}<12，66 看起來也行；只用 △ABE\triangle ABE 會留下 8<AB‾<168<\overline{AB}<16，1313 看起來也行。三個三角形都要列出來，最後取交集才會縮成 8<AB‾<128<\overline{AB}<12。還有一點別忘了：不等式是嚴格的，AB‾=8\overline{AB}=8 時兩邊之和恰好等於第三邊，三點共線，圍不出三角形。

還是卡住嗎？

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