113學年鷺江國中第1次段考數學 第22題 詳解

答案(1) $10$ (2) $\sqrt{35}$ (3) $9$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   第一小題：算術平均數

   算術平均數的定義是兩數相加再除以 $2$。兩正數為 $7$ 與 $13$，所以算術平均數 $=\dfrac{7+13}{2}=\dfrac{20}{2}=10$。
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   第二小題：幾何平均數

   幾何平均數的定義是兩數相乘再開平方。兩正數為 $5$ 與 $7$，所以幾何平均數 $=\sqrt{5\times 7}=\sqrt{35}$。因為 $35=5\times 7$ 不含有大於 $1$ 的平方數因數，$\sqrt{35}$ 已經是最簡根式，不能再化簡。
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   第三小題：把算幾不等式套上去

   兩正數 $x$、$y$ 滿足 $x+y=6$。把它代進不等式 $\dfrac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}$，左邊變成 $\dfrac{6}{2}=3$，於是得到 $3\ge\sqrt{xy}$。
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   第三小題：兩邊平方求出上界

   因為 $x$、$y$ 都是正數，$\sqrt{xy}$ 與 $3$ 都是非負數，兩個非負數的不等式兩邊平方後方向不變：由 $3\ge\sqrt{xy}$ 得 $3^2\ge(\sqrt{xy})^2$，也就是 $9\ge xy$。所以 $xy$ 不可能超過 $9$。
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   第三小題：確認最大值取得到

   算幾不等式的等號要在兩數相等時才成立。由 $x=y$ 與 $x+y=6$ 可得 $x=y=3$，此時 $xy=3\times 3=9$，上界確實達得到。所以 $xy$ 的最大值為 $9$。
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   整理三個答案

   第一小題：算術平均數為 $10$。第二小題：幾何平均數為 $\sqrt{35}$。第三小題：$xy$ 的最大值為 $9$。

關鍵觀念：#算術平均數 #幾何平均數 #算幾不等式