113學年鷺江國中第1次段考數學 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   補出兩截線的交點

   $M_1$、$M_2$ 不平行，往上延長會交於一點，設為 $S$。因為 $L_1\parallel L_2\parallel L_3$，所以 $\triangle SAD$、$\triangle SBE$、$\triangle SCF$ 有共同的頂角 $S$，再加上一組同位角，三個三角形兩兩相似。
2. 2

   用 AD 與 BE 列方程

   由 $\triangle SAD\sim\triangle SBE$ 得 $\dfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{BE}}=\dfrac{4}{7}$。又 $\overline{SB}=\overline{SA}+\overline{AB}=\overline{SA}+3$，代入得 $$\dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA}+3}=\dfrac{4}{7}$$
3. 3

   解出 SA、SB、SC

   交叉相乘得 $7\overline{SA}=4(\overline{SA}+3)=4\overline{SA}+12$，所以 $3\overline{SA}=12$，$\overline{SA}=4$。於是 $\overline{SB}=4+3=7$，$\overline{SC}=\overline{SB}+\overline{BC}=7+4=11$。
4. 4

   求出 CF

   由 $\triangle SBE\sim\triangle SCF$ 得 $\dfrac{\overline{CF}}{\overline{BE}}=\dfrac{\overline{SC}}{\overline{SB}}=\dfrac{11}{7}$，所以 $\overline{CF}=7\times\dfrac{11}{7}=11$。故選 (C)。
5. 5

   換一組相似再驗算

   改用 $\triangle SAD\sim\triangle SCF$：$\dfrac{\overline{CF}}{\overline{AD}}=\dfrac{\overline{SC}}{\overline{SA}}=\dfrac{11}{4}$，$\overline{CF}=4\times\dfrac{11}{4}=11$，答案一致。

關鍵觀念：#平行線截線段成比例