113學年鷺江國中第1次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把直角標出來

   長方形 $ABCD$ 中 $\angle ABE=\angle ABC=90^\circ$、$\angle DAB=90^\circ$，而且 $\overline{BC}=\overline{AD}=16$。又 $\overline{AE}\perp\overline{BD}$，交點為 $F$，所以 $\angle AFB=90^\circ$。
2. 2

   找出一組相等的角

   在 $\triangle ABF$ 中 $\angle ABF+\angle BAF=90^\circ$；在 $\triangle ABD$ 中 $\angle ABD+\angle ADB=90^\circ$。因為 $F$ 在 $\overline{BD}$ 上，$\angle ABF$ 就是 $\angle ABD$，兩式相減得 $\angle BAF=\angle ADB$。又 $F$ 在 $\overline{AE}$ 上，所以 $\angle BAE=\angle BAF=\angle ADB$。
3. 3

   用 AA 判相似

   比較 $\triangle ABE$ 與 $\triangle DAB$：$\angle ABE=\angle DAB=90^\circ$，$\angle BAE=\angle ADB$，由 AA 相似性質得 $\triangle ABE\sim\triangle DAB$，對應為 $A$ 對 $D$、$B$ 對 $A$、$E$ 對 $B$。
4. 4

   列比例求 BE

   依對應順序 $\dfrac{\overline{BE}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{DA}}$，代入 $\overline{AB}=12$、$\overline{DA}=16$ 得 $$\dfrac{\overline{BE}}{12}=\dfrac{12}{16}$$ 交叉相乘得 $16\times\overline{BE}=144$，所以 $\overline{BE}=9$。故選 (B)。
5. 5

   用畢氏定理驗算

   若 $\overline{BE}=9$，則 $\overline{AE}=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{225}=15$，$\overline{BD}=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=\sqrt{400}=20$。$\triangle ABE$ 三邊為 $9$、$12$、$15$，$\triangle DAB$ 三邊為 $12$、$16$、$20$，三組比值都是 $\dfrac{3}{4}$，確實相似。

關鍵觀念：#相似三角形 #長方形