113學年鷺江國中第1次段考數學 第23題 詳解

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逐步解析

1. 1

   讀出兩個鉛直距離

   $Q=(a,9)$ 在上邊 $\overline{AB}$ 上，所以整條 $\overline{AB}$ 都落在 $y=9$ 這條水平線上。$P=(5,3)$ 到這條線的鉛直距離是 $9-3=6$；$R=(26,1)$ 到這條線的鉛直距離是 $9-1=8$。
2. 2

   造出兩個直角三角形

   過 $P$ 向上作垂線交 $\overline{AB}$ 於 $P'=(5,9)$，過 $R$ 向上作垂線交 $\overline{AB}$ 於 $R'=(26,9)$。則 $\triangle QP'P$ 與 $\triangle QR'R$ 都是直角三角形，$\angle QP'P=\angle QR'R=90^\circ$。
3. 3

   用 AA 判相似

   $P'$ 在 $Q$ 的左側、也就是朝 $A$ 的方向，所以 $\angle PQP'$ 就是 $\angle PQA$；$R'$ 在 $Q$ 的右側、朝 $B$ 的方向，所以 $\angle RQR'$ 就是 $\angle RQB$。題目給 $\angle PQA=\angle RQB$，再配上一組直角，由 AA 得 $\triangle QP'P\sim\triangle QR'R$。
4. 4

   列出比例式

   水平邊 $\overline{QP'}=a-5$、$\overline{QR'}=26-a$；鉛直邊 $\overline{P'P}=6$、$\overline{R'R}=8$。由相似得 $$\dfrac{a-5}{26-a}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$$
5. 5

   解方程並檢查

   交叉相乘得 $4(a-5)=3(26-a)$，展開 $4a-20=78-3a$，移項 $7a=98$，$a=14$。檢查：$\overline{QP'}=14-5=9$、$\overline{QR'}=26-14=12$，$9:12=3:4$，與鉛直邊比 $6:8=3:4$ 相同。故選 (C)。

關鍵觀念：#坐標幾何 #相似三角形 #入射反射角