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113學年鷺江國中第1次段考數學 第22題 詳解

中線與比例線段求比值 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如圖(十一)，△ABC\triangle ABC 中，DD、EE 分別為 BC‾\overline{BC}、AC‾\overline{AC} 的中點，GG 點在 AE‾\overline{AE} 上，延長 BG‾\overline{BG}、DE‾\overline{DE} 交於 FF 點，若 BG‾:GF‾=12:5\overline{BG}:\overline{GF}=12:5，則 EF‾:DE‾=\overline{EF}:\overline{DE}=？
(A) 8:98:9
(B) 7:87:8
(C) 6:76:7
(D) 5:65:6
三角形ABC，A在上、B左下、C右下；D為BC中點、E為AC中點；G為AE上一點；由B經G延伸的直線與由D、E延伸的直線，在三角形外側（A、C之間上方偏右處）相交於F點。
圖(十一)

答案(D)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    用中點連線定理

    DD、EE 分別是 BC‾\overline{BC}、AC‾\overline{AC} 的中點，所以 DE‾∥AB‾\overline{DE}\parallel\overline{AB} 且 DE‾=12AB‾\overline{DE}=\dfrac{1}{2}\overline{AB}。為了好算，設 AB‾=12\overline{AB}=12，則 DE‾=6\overline{DE}=6。
  2. 2

    把平行關係延伸到 F

    FF 在 DE‾\overline{DE} 的延長線上，所以 EF‾\overline{EF} 和 DE‾\overline{DE} 在同一條直線上，EF‾\overline{EF} 同樣平行 AB‾\overline{AB}。
  3. 3

    找出相似三角形

    AA、GG、EE 共線，BB、GG、FF 共線，GG 是 AE‾\overline{AE} 與 BF‾\overline{BF} 的交點。因為 AB‾∥EF‾\overline{AB}\parallel\overline{EF}，以 AE‾\overline{AE} 為截線得 ∠GAB=∠GEF\angle GAB=\angle GEF，以 BF‾\overline{BF} 為截線得 ∠GBA=∠GFE\angle GBA=\angle GFE，由 AA 得 △GAB∼△GEF\triangle GAB\sim\triangle GEF。
  4. 4

    用 BG 比 GF 求 EF

    由相似得 EF‾AB‾=GF‾GB‾=512\dfrac{\overline{EF}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{GF}}{\overline{GB}}=\dfrac{5}{12}，所以 EF‾=12×512=5\overline{EF}=12\times\dfrac{5}{12}=5。
  5. 5

    求出所問的比

    EF‾=5\overline{EF}=5、DE‾=6\overline{DE}=6，所以 EF‾:DE‾=5:6\overline{EF}:\overline{DE}=5:6。故選 (D)。
答案
(D)

關鍵觀念：#相似三角形 #中點 #比例線段

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常見卡點
這題有兩段長度都跟 AB‾\overline{AB} 有關，最容易混在一起。EF‾\overline{EF} 是靠 △GAB∼△GEF\triangle GAB\sim\triangle GEF、相似比 GF‾:GB‾=5:12\overline{GF}:\overline{GB}=5:12 算出來的，DE‾\overline{DE} 則是靠中點連線定理得到的一半。很多人忘了 DE‾\overline{DE} 只有 AB‾\overline{AB} 的一半，直接把 DE‾\overline{DE} 當成 AB‾\overline{AB}，算成 EF‾:DE‾=5:12\overline{EF}:\overline{DE}=5:12，這個比不在選項裡。設一個好算的 AB‾=12\overline{AB}=12，兩段各自算出具體長度再相比，就不會亂。

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