113學年福和國中第1學期第2次段考數學 第34題 詳解

答案如答案卷圖示：以上排（4 個正方形的橫排）由左數第 4 個格點（即上排右起第 2 個格點）為共同端點畫兩條直線——一條往左下連到「上排左邊多出來那一格的左下角」（即第二條橫格線的最左端格點），另一條往右下連到全圖最右下角的格點。切出的三塊（兩個股長 1、3 的直角三角形與中間的五邊形）可拼成邊長 √10 的大正方形。看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先算出大正方形的邊長

   圖形由 10 個邊長 1 的小正方形組成，面積是 10。拼成的大正方形面積也必須是 10，所以邊長 $=\sqrt{10}$。又 $\sqrt{10}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}$，正好是「橫走 3 格、直走 1 格」那條斜線的長度，這就告訴我們兩條線該往哪個方向畫。
2. 2

   在方格上標出三個關鍵點

   把圖形放在方格紙上，每格邊長 1，令整個圖形左下方的格線交點為 $(0,0)$。上排是 $0\le x\le4$、$2\le y\le3$；下方區塊是 $1\le x\le4$、$0\le y\le2$。標出三個格點：$P(0,2)$ 是上排的左下角，也就是左邊多出來那一格的左下角；$Q(3,3)$ 在最上面那條邊上，從右邊數來是第 2 個格點；$R(4,0)$ 是整個圖形的右下角。
3. 3

   畫第一條直線 PQ

   用直尺對準 $P(0,2)$ 與 $Q(3,3)$ 兩個格點，拿黑筆一次畫到底。這條線從 $P$ 往右 3 格、往上 1 格，整段都落在上排那條橫帶內，長度 $\overline{PQ}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$，剛好等於大正方形的邊長。它切下上排左邊一個兩股為 1 和 3 的直角三角形。
4. 4

   畫第二條直線 QR

   再用直尺對準 $Q(3,3)$ 與 $R(4,0)$，同樣用黑筆畫。這條線從 $Q$ 往右 1 格、往下 3 格，長度 $\overline{QR}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$；再連 $\overline{PR}$：$\overline{PR}^{2}=4^{2}+2^{2}=20$，而 $\overline{PQ}^{2}+\overline{QR}^{2}=10+10=20$，兩者相等，由畢氏定理的逆定理可知 $\angle PQR=90^{\circ}$，也就是 $\overline{PQ}\perp\overline{QR}$。它切下右上角另一個兩股為 1 和 3 的直角三角形。
5. 5

   確認切出來的三塊

   兩條線共用端點 $Q$，把圖形分成三塊：左上角直角三角形（兩股 1 與 3，面積 $\dfrac{3}{2}$）、右上角直角三角形（兩股 1 與 3，面積 $\dfrac{3}{2}$）、中間的五邊形 $P(0,2)$、$Q(3,3)$、$R(4,0)$、$(1,0)$、$(1,2)$（面積 7）。$\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}+7=10$，總面積沒錯。
6. 6

   說明為什麼拼得成正方形

   中間的五邊形不動。把左上角的三角形以 $P(0,2)$ 為中心順時針轉 $90^{\circ}$，它會落到 $P(0,2)$、$(1,2)$、$(1,-1)$ 的位置；把右上角的三角形以 $R(4,0)$ 為中心逆時針轉 $90^{\circ}$，它會落到 $R(4,0)$、$(1,0)$、$(1,-1)$ 的位置。三塊合起來正好填滿以 $P(0,2)$、$Q(3,3)$、$R(4,0)$、$(1,-1)$ 為頂點的四邊形，它四邊都是 $\sqrt{10}$、相鄰兩邊互相垂直，就是面積 10 的大正方形。
7. 7

   作答時務必遵守的規定

   答案卷上只要畫出 $\overline{PQ}$ 與 $\overline{QR}$ 這兩條直線。一定要用直尺貼齊兩個格點、用黑筆描出來，線要從格點畫到格點，不要畫過頭、不要中斷、也不要徒手或用鉛筆，否則即使位置正確也不予計分。

關鍵觀念：#面積 #圖形分割