113學年福和國中第1學期第2次段考數學 第33題 詳解

答案$\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先求對角線 BD

   長方形 $ABCD$ 中 $\overline{AB}=2$、$\overline{BC}=1$，對邊相等所以 $\overline{AD}=\overline{BC}=1$。$\triangle ABD$ 中 $\angle A=90^{\circ}$，由畢氏定理 $\overline{BD}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$。
2. 2

   用面積求垂線 AE

   $\triangle ABD$ 的面積 $=\dfrac{1}{2}\times2\times1=1$；改以 $\overline{BD}$ 為底、$\overline{AE}$ 為高，面積 $=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{5}\times\overline{AE}$。兩式相等得 $\overline{AE}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$。
3. 3

   用畢氏求 DE

   $\triangle ADE$ 中 $\angle AED=90^{\circ}$，$\overline{DE}=\sqrt{\overline{AD}^{2}-\overline{AE}^{2}}=\sqrt{1^{2}-\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}}=\sqrt{1-\dfrac{4}{5}}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
4. 4

   由對稱看出 BF

   $\triangle BCD$ 與 $\triangle DAB$ 是長方形被對角線分成的兩個全等三角形，$\overline{CF}\perp\overline{BD}$ 的情形與 $\overline{AE}\perp\overline{BD}$ 完全對稱，所以 $\overline{BF}=\overline{DE}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
5. 5

   相減得 EF

   由圖可知 $E$ 靠近 $D$、$F$ 靠近 $B$，$\overline{EF}=\overline{BD}-\overline{DE}-\overline{BF}=\sqrt{5}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{5\sqrt{5}-\sqrt{5}-\sqrt{5}}{5}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$。

關鍵觀念：#畢氏定理 #相似三角形

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