113學年新莊國中第2次段考數學 第13題 詳解

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逐步解析

1. 1

   因數的條件怎麼看

   甲 $=3^{\square}\times5^2\times7$。一個數要成為甲的因數，它的標準分解式裡每個質因數的次數，都不可以超過甲裡面同一個質因數的次數。
2. 2

   由一百零五定下限

   $105=3\times5\times7$，裡面 $3$ 的次數是 $1$、$5$ 的次數是 $1$、$7$ 的次數是 $1$。甲已經有 $5^2$ 和 $7$，足夠了；要讓 $105$ 整除甲，甲裡 $3$ 的次數必須至少是 $1$，所以 $\square\geq1$。
3. 3

   由六十三定上限

   $63=3^2\times7$，裡面需要兩個 $3$ 和一個 $7$。甲本來就有 $7$，所以 $63$ 不能整除甲的唯一原因，只能是甲裡 $3$ 的次數不足 $2$，也就是 $\square<2$，即 $\square\leq1$。
4. 4

   兩個條件合起來

   $\square\geq1$ 且 $\square\leq1$，兩個條件同時成立時，$\square$ 只能是 $1$。
5. 5

   代回去檢查

   取 $\square=1$，甲 $=3\times5^2\times7=3\times25\times7=525$。檢查：$525\div105=5$ 整除，$105$ 是甲的因數；$525\div63$ 除不盡（$63$ 需要兩個 $3$，甲只有一個），$63$ 不是甲的因數。兩個條件都符合，所以 $\square=1$。

關鍵觀念：#標準分解式 #因數判斷