113學年新莊國中第2次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把條件翻成倍數

   設修補後圍籬內還有 $N$ 隻山羊。每 $7$ 隻一數多 $1$ 隻、每 $8$ 隻一數多 $1$ 隻、每 $10$ 隻一數也多 $1$ 隻，表示 $N-1$ 可以被 $7$、$8$、$10$ 同時整除，也就是 $N-1$ 是 $7$、$8$、$10$ 的公倍數。
2. 2

   求最小公倍數

   $7=7$、$8=2^3$、$10=2\times5$，取各質因數的最高次：$[7,8,10]=2^3\times5\times7=280$。所有公倍數都是最小公倍數的倍數，所以 $N-1=280k$，即 $N=280k+1$（$k$ 是正整數）。
3. 3

   用逃跑數定出範圍

   原本有 $900$ 隻，逃跑的不到 $100$ 隻，而且確實有山羊跑掉（至少 $1$ 隻），所以圍籬內剩下的 $N$ 滿足 $800<N<900$。
4. 4

   找出符合的隻數

   $k=2$ 時 $N=280\times2+1=561$，太小；$k=3$ 時 $N=280\times3+1=841$，落在 $800$ 與 $900$ 之間；$k=4$ 時 $N=280\times4+1=1121$，超過 $900$。所以 $N=841$。
5. 5

   算逃跑數並驗算

   逃跑的山羊 $=900-841=59$ 隻，確實不到 $100$ 隻。驗算：$841\div7=120$ 餘 $1$、$841\div8=105$ 餘 $1$、$841\div10=84$ 餘 $1$，三個條件都成立。所以逃跑的山羊有 $59$ 隻。

關鍵觀念：#最小公倍數應用 #餘數問題