113學年鷺江國中第2次段考數學 第11題 詳解

逐步解析

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   第一句：舉反例

   要推翻一個「凡是⋯⋯就⋯⋯」的敘述，只要舉出一個反例就夠了。個位數字是 $7$ 的數不一定是質數：$27=3^3$、$57=3\times19$、$77=7\times11$ 都是合數。所以第一句不正確。
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   第二句：互質的定義

   兩個整數「互質」的意思是它們的最大公因數為 $1$，寫成 $(a,b)=1$，講的是公因數，不是公倍數。例如 $3$ 與 $4$ 互質，$(3,4)=1$，但 $[3,4]=12$。而且兩個正整數的最小公倍數一定不小於其中較大的那一個，除非兩數都是 $1$，否則不可能是 $1$。所以第二句不正確。
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   第三句：唯一偶質數

   $2$ 的正因數只有 $1$ 和 $2$ 兩個，符合質數的定義，而且比 $2$ 小的正整數只有 $1$，$1$ 不是質數，所以 $2$ 是最小的質數。其他偶數都能被 $2$ 整除，且本身大於 $2$，至少有 $1$、$2$、自己這三個正因數，一定是合數。所以 $2$ 是質數中唯一的偶數，第三句正確。
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   第四句：真分數次方

   $\dfrac{5}{6}$ 是小於 $1$ 的正數，乘越多次值越小。$\left(\dfrac{5}{6}\right)^{10}=\dfrac{5^{10}}{6^{10}}$，分子比分母小，整個分數小於 $1$，不可能大於 $1$。所以第四句不正確。
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   第五句：討論範圍

   前半句「$1$ 是任何正整數的因數」是對的，因為任何正整數 $n$ 都可以寫成 $1\times n$。但後半句不成立。第一，國中談因數與倍數時，討論的對象一律限定在正整數，$0$ 不是正整數，不在我們談倍數的範圍裡。第二，「任何整數」這四個字把 $0$ 自己也算進去了，而因數就是除數，除數不可以是 $0$，所以「$0$ 是 $0$ 的倍數」這句話根本講不通。一句話只要有一半不成立，整句就是錯的，所以第五句不正確。
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   第六句：因數個數

   質數的定義是「大於 $1$，而且正因數只有 $1$ 和自己」，換句話說就是恰好有 $2$ 個正因數。$101$ 用 $2$、$3$、$5$、$7$ 去試除都除不盡，而 $11^2=121>101$，不必再往上試，所以 $101$ 的正因數只有 $1$ 和 $101$，恰好 $2$ 個，確實是質數，第六句正確。正確的敘述是第三句和第六句。

關鍵觀念：#質數 #合數 #互質 #最小公倍數