113學年鷺江國中第2次段考數學 第12題 詳解

逐步解析

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   最大公因數取最小次方

   用標準分解式求最大公因數的規則是：把三個數「都有」的質因數挑出來，每個質因數取最小的次方。這三個數都含有 $2$、$3$、$7$，所以三個質因數都要處理。
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   第一小題逐項取最小

   $2$ 的次方依序是 $3$、$2$、$4$，最小是 $2$；$3$ 的次方依序是 $2$、$1$、$3$，最小是 $1$；$7$ 的次方依序是 $3$、$4$、$2$，最小是 $2$。所以 $(2^3\times3^2\times7^3,\;2^2\times3\times7^4,\;2^4\times3^3\times7^2)=2^2\times3\times7^2$。
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   第二小題取最大次方

   求最小公倍數的規則相反：把出現過的質因數都收進來，每個取最大的次方。$2$ 取 $4$ 次方、$3$ 取 $3$ 次方、$7$ 取 $4$ 次方，所以 $[2^3\times3^2\times7^3,\;2^2\times3\times7^4,\;2^4\times3^3\times7^2]=2^4\times3^3\times7^4$。
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   第三小題先分解

   第三小題的兩個數還沒分解到底，要先拆成質因數的次方：$2^4\times15^2=2^4\times(3\times5)^2=2^4\times3^2\times5^2$；$27\times18=3^3\times(2\times3^2)=2\times3^{3+2}=2\times3^5$。
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   第三小題取最大次方

   兩數合起來出現的質因數有 $2$、$3$、$5$。$2$ 的次方是 $4$ 和 $1$，取 $4$；$3$ 的次方是 $2$ 和 $5$，取 $5$；$5$ 只出現在第一個數，次方是 $2$，直接取 $2$。所以 $[2^4\times15^2,\;27\times18]=2^4\times3^5\times5^2$。三小題的答案依序是 $2^2\times3\times7^2$、$2^4\times3^3\times7^4$、$2^4\times3^5\times5^2$。

關鍵觀念：#標準分解式 #最大公因數 #最小公倍數