113學年鷺江國中第2次段考數學 第13題 詳解

答案(1) $a$、$b$、$d$、$g$ (2) $f$、$h$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   因數與倍數的判準

   令 $N=2^2\times5\times7^2$。一個數是 $N$ 的因數，表示它能寫成 $2^a\times5^b\times7^c$，而且 $2$ 最多 $2$ 次方、$5$ 最多 $1$ 次方、$7$ 最多 $2$ 次方，同時不能出現 $N$ 沒有的質因數。反過來，一個數是 $N$ 的倍數，表示它含有 $2^a\times5^b\times7^c$ 且 $2$ 至少 $2$ 次方、$5$ 至少 $1$ 次方、$7$ 至少 $2$ 次方，另外還可以多出別的質因數。
2. 2

   第一小題前五個

   (a) $1$ 是任何正整數的因數，是。(b) $2^2$ 只有質因數 $2$，次方 $2$ 沒有超過 $2$，是。(c) $2^3\times5$ 的 $2$ 是 $3$ 次方，$3>2$，不是。(d) $2\times5\times7$ 三個次方分別是 $1$、$1$、$1$，都沒有超過上限，是。(e) $2^4\times5\times7$ 的 $2$ 是 $4$ 次方，$4>2$，不是。
3. 3

   第一小題後三個

   (f) $2^3\times5^2\times7^2$ 的 $2$ 是 $3$ 次方超過 $2$，$5$ 是 $2$ 次方也超過 $1$，不是。(g) $2^2\times5\times7$ 的次方是 $2$、$1$、$1$，都沒有超過上限，是。(h) $2^3\times5\times7^3\times11$ 出現了 $N$ 沒有的質因數 $11$，而且 $2$ 與 $7$ 的次方也超過，不是。所以第一小題的答案是 $a$、$b$、$d$、$g$。
4. 4

   倍數要次方夠多

   倍數的條件是 $2$ 至少 $2$ 次方、$5$ 至少 $1$ 次方、$7$ 至少 $2$ 次方，三個條件要同時成立。(a) $1$ 沒有這些質因數，不是。(b) $2^2$ 缺 $5$ 也缺 $7$，不是。(c) $2^3\times5$ 缺 $7$，不是。(d) $2\times5\times7$ 的 $2$ 只有 $1$ 次方、$7$ 也只有 $1$ 次方，不是。(e) $2^4\times5\times7$ 的 $7$ 只有 $1$ 次方，差一個 $7$，不是。
5. 5

   第二小題找出答案

   (f) $2^3\times5^2\times7^2$：$2$ 有 $3$ 次方、$5$ 有 $2$ 次方、$7$ 有 $2$ 次方，三個都達到需要的次數，是。(g) $2^2\times5\times7$ 的 $7$ 只有 $1$ 次方，不是。(h) $2^3\times5\times7^3\times11$：$2$ 有 $3$ 次方、$5$ 有 $1$ 次方、$7$ 有 $3$ 次方，三個都達到需要的次數，多出來的 $11$ 不影響它是倍數，是。所以第二小題的答案是 $f$、$h$。

關鍵觀念：#因數 #倍數 #標準分解式