113學年新莊國中第3次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先整理題目給的長度

   圖上沒有標任何數字，各點位置只是示意、不按比例，所以長度一律用題目給的數值。$E$ 在 $\overline{AD}$ 上，$F$ 在 $\overline{BC}$ 上，$G$ 在 $\overline{DC}$ 上。由 $\overline{AE}=6$、$\overline{ED}=4$ 得 $\overline{AD}=6+4=10$；長方形對邊相等，所以 $\overline{BC}=10$。設 $\overline{AB}=h$，則 $\overline{DC}=h$，$\overline{GC}=\overline{DC}-\overline{DG}=h-4$，$\overline{FC}=\overline{BC}-\overline{BF}=10-2=8$。
2. 2

   用長方形扣掉三塊

   三角形 $EFG$ 的三個頂點分別落在上邊、下邊、右邊，左邊的 $\overline{AB}$ 上沒有任何點。所以長方形扣掉這個三角形之後，剩下的是三塊：左邊的四邊形 $ABFE$、右上角的三角形 $EDG$、右下角的三角形 $FCG$。左邊那塊是四邊形不是三角形，這一點最容易看錯。
3. 3

   分別算出三塊面積

   四邊形 $ABFE$ 中，$\overline{AE}$ 與 $\overline{BF}$ 都落在長方形的上下兩邊上、互相平行，$\overline{AB}$ 和它們垂直，所以它是上底 $6$、下底 $2$、高 $h$ 的梯形，面積為 $\dfrac{(6+2)\times h}{2}=4h$。三角形 $EDG$ 在 $D$ 有直角，以 $\overline{ED}=4$ 為底、$\overline{DG}=4$ 為高，面積為 $\dfrac{4\times4}{2}=8$。三角形 $FCG$ 在 $C$ 有直角，以 $\overline{FC}=8$ 為底、$\overline{GC}=h-4$ 為高，面積為 $\dfrac{8\times(h-4)}{2}=4h-16$。
4. 4

   列方程式解出高

   長方形面積是 $10\times h=10h$，陰影面積等於長方形扣掉那三塊：$10h-\left[4h+8+(4h-16)\right]=20$。中括號裡合併成 $8h-8$，所以 $10h-(8h-8)=20$，即 $2h+8=20$。兩邊同時減 $8$：$2h=12$；兩邊同時除以 $2$：$h=6$。
5. 5

   代回去驗算

   若 $\overline{AB}=6$：長方形面積 $10\times6=60$；梯形 $ABFE$ 面積 $4\times6=24$；三角形 $EDG$ 面積 $8$；三角形 $FCG$ 的高是 $6-4=2$，面積 $\dfrac{8\times2}{2}=8$。$60-24-8-8=20$，和題目給的陰影面積相符，故選 (A)。

關鍵觀念：#矩形面積 #三角形面積 #線段長度