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113學年鷺江國中第3次段考數學 第1題 詳解

外心位置判斷（鈍角三角形） · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如右圖，△PQR\triangle PQR 是一個鈍角三角形，則 AA、BB、CC 三點何者可能為 △PQR\triangle PQR 的外心？
(A) AA
(B) BB
(C) CC
(D) 三者皆有可能
鈍角三角形PQR：Q在左、R在右、P在上方頂角較窄處；A點與B點都標示在三角形內部（A偏右上、B偏左，兩點皆位於QR邊上方、P點下方的區域內）；C點標示在三角形外部下方。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    外心是什麼

    外心是三角形三邊中垂線的交點，它到三個頂點的距離相等，也就是外接圓的圓心。所以問題其實是：哪一點有可能滿足 OP‾=OQ‾=OR‾\overline{OP}=\overline{OQ}=\overline{OR}。
  2. 2

    外心位置的三種情形

    外心的位置會跟著三角形的形狀跑：銳角三角形的外心在三角形內部；直角三角形的外心落在斜邊中點，剛好在邊上；鈍角三角形的外心則落在三角形外部。
  3. 3

    本題屬於哪一種

    題目已說明 △PQR\triangle PQR 是鈍角三角形，圖中 ∠P\angle P 張得很開，就是那個鈍角。既然是鈍角三角形，外心一定在三角形外面，而圖中的 AA、BB 兩點都畫在三角形內部，兩個都不可能。
  4. 4

    確認落在哪一側

    再細一點說，鈍角三角形的外心會落在鈍角所對的那條邊的另一側。本題鈍角在 PP，它所對的邊是 QR‾\overline{QR}，所以外心會在 QR‾\overline{QR} 的下方，也就是和 PP 相反的那一邊。圖中只有 CC 點在 QR‾\overline{QR} 下方，故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#外心 #鈍角三角形

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常見卡點
很多人一看到「心」就以為一定在三角形裡面，這只對內心與重心成立。外心與垂心的位置會跟著形狀跑：銳角在內部、直角落在斜邊中點、鈍角跑到外部。判斷時先看最大的角是銳角、直角還是鈍角，再決定往哪裡找。會挑 (A) 或 (B) 的人，就是把「所有的心都在內部」這個錯誤印象直接套上來。

還是卡住嗎？

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