113學年鷺江國中第3次段考數學 第2題 詳解

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逐步解析

1. 1

   外心給了什麼條件

   $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，代表 $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$，三段都等於外接圓半徑。換句話說，$A$、$B$、$C$ 三點都落在以 $O$ 為圓心的同一個圓上。
2. 2

   圓心角是圓周角的兩倍

   在這個圓上，$\angle BOC$ 是弧 $BC$ 所對的圓心角，$\angle A$ 是同一段弧 $BC$ 所對的圓周角。同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍，所以 $\angle BOC = 2\angle A$。
3. 3

   代入求角

   把 $\angle BOC=160°$ 代進去：$160° = 2\angle A$，所以 $\angle A = 160° \div 2 = 80°$。
4. 4

   用銳角三角形收尾

   如果 $A$ 落在另一段弧上（也就是 $A$ 與 $O$ 在 $\overline{BC}$ 的同一側、三角形成為鈍角三角形的情形），$\angle A$ 會是 $(360°-160°)\div 2 = 100°$。但題目已經說 $\triangle ABC$ 是銳角三角形，$\angle A$ 不可能是鈍角，所以只能取 $80°$，故選 (A)。

關鍵觀念：#外心 #圓周角定理

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