113學年鷺江國中第3次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先看懂重排的動作

   沿 $\overline{OA}$、$\overline{OB}$、$\overline{OC}$ 切開後得到三塊三角形：甲是 $\triangle OAB$、丙是 $\triangle OBC$、乙是 $\triangle OAC$。把它們分別以 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{AC}$ 當底放到直線 $L$ 上，$O$ 就成了每一塊朝上的那個頂點。
2. 2

   把「平行」翻譯成距離

   三個 $O$ 點連成一條與 $L$ 平行的直線，意思是三個 $O$ 點到 $L$ 的距離完全相等。而在每一塊裡，$O$ 到 $L$ 的距離就是那一塊三角形以該邊為底時的高。
3. 3

   把高翻譯回原圖

   甲的高是 $O$ 到 $\overline{AB}$ 的距離、丙的高是 $O$ 到 $\overline{BC}$ 的距離、乙的高是 $O$ 到 $\overline{AC}$ 的距離。三個高相等，就是說 $O$ 到 $\triangle ABC$ 三邊的距離相等。
4. 4

   對應到哪一種心

   到「三邊」等距離的點是內心，那個距離就是內切圓半徑；到「三頂點」等距離的才是外心。所以 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的內心，故選 (B)。
5. 5

   為什麼不是重心

   若 $O$ 是重心，相等的會是 $\triangle OAB$、$\triangle OBC$、$\triangle OAC$ 三塊的「面積」。但面積是底乘高除以二，三條底邊 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{AC}$ 長度一般不同，面積相等時高反而各不相同，排開後三個 $O$ 點就不會等高，也就連不成平行 $L$ 的直線。

關鍵觀念：#垂心 #圖形切割證明