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113學年鷺江國中第3次段考數學 第14題 詳解

外心三角形周長比較 · 單選 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=67°\angle A=67°，∠B=53°\angle B=53°，若 OO 點為 △ABC\triangle ABC 的外心，設 △AOB\triangle AOB、△BOC\triangle BOC、△AOC\triangle AOC 的周長依序為 xx、yy、zz，則下列何者正確？
(A) x>y>zx>y>z
(B) z>y>xz>y>x
(C) y>x>zy>x>z
(D) x=y=zx=y=z

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先把第三個角補出來

    ∠C=180°−67°−53°=60°\angle C = 180° - 67° - 53° = 60°。三個角依大小排是 ∠A=67°>∠C=60°>∠B=53°\angle A = 67° > \angle C = 60° > \angle B = 53°。
  2. 2

    三個周長的共同部分

    OO 是外心，所以 OA‾=OB‾=OC‾=R\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=R。於是 x=2R+AB‾x = 2R+\overline{AB}、y=2R+BC‾y = 2R+\overline{BC}、z=2R+AC‾z = 2R+\overline{AC}，三個周長都含有相同的 2R2R。
  3. 3

    把比周長化成比邊長

    三個式子同時扣掉共同的 2R2R，xx、yy、zz 的大小順序就完全由 AB‾\overline{AB}、BC‾\overline{BC}、AC‾\overline{AC} 三條邊的長短決定。
  4. 4

    用大角對大邊

    配對要看清楚：BC‾\overline{BC} 對 ∠A=67°\angle A=67°、AB‾\overline{AB} 對 ∠C=60°\angle C=60°、AC‾\overline{AC} 對 ∠B=53°\angle B=53°。角大邊也大，所以 BC‾>AB‾>AC‾\overline{BC} > \overline{AB} > \overline{AC}，也就是 y>x>zy > x > z，故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#外心 #周長比較

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常見卡點
最大的陷阱是看到 OA‾=OB‾=OC‾\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC} 就以為三個三角形一模一樣，直接挑 x=y=zx=y=z；別忘了每個三角形還有第三邊，而 AB‾\overline{AB}、BC‾\overline{BC}、AC‾\overline{AC} 三條長度並不相同。第二個關卡是配對：BC‾\overline{BC} 對的是 ∠A\angle A。x>y>zx>y>z 對應 AB‾>BC‾>AC‾\overline{AB}>\overline{BC}>\overline{AC}、z>y>xz>y>x 對應 AC‾>BC‾>AB‾\overline{AC}>\overline{BC}>\overline{AB}，兩個順序都和三個角排不起來。

還是卡住嗎？

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