113學年鷺江國中第3次段考數學 第13題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先分辨哪幾條是中線

   重心是三條中線的交點，所以第一件事是看清楚圖中哪些線才是中線。$D$、$E$、$F$ 把 $\overline{BC}$ 四等分，中間的 $E$ 正好是 $\overline{BC}$ 的中點，所以 $\overline{AE}$ 是中線；$M$ 是 $\overline{AB}$ 的中點，所以 $\overline{CM}$ 也是中線。
2. 2

   找出不是中線的那一條

   $N$ 在 $\overline{AC}$ 上且 $\overline{AN}:\overline{NC}=1:2$，把 $\overline{AC}$ 分成不相等的兩段，$N$ 不是中點，因此 $\overline{BN}$ 不是中線，不能拿來找重心。
3. 3

   兩條中線的交點就是重心

   圖中只有 $\overline{AE}$ 與 $\overline{CM}$ 是中線，重心必定是這兩條線的交點。對照圖形，$\overline{AE}$ 與 $\overline{CM}$ 交在綠色的 $X$ 點，所以 $X$ 就是 $\triangle ABC$ 的重心，故選 (A)。
4. 4

   另外兩個交點是什麼

   藍色的 $Y$ 是 $\overline{AE}$ 與 $\overline{BN}$ 的交點，紅色的 $Z$ 是 $\overline{CM}$ 與 $\overline{BN}$ 的交點。兩個交點都用到了不是中線的 $\overline{BN}$，所以都不是重心。
5. 5

   用 2:1 再驗一次

   還不放心的話可以檢查比例：重心一定同時把兩條中線都分成 $2:1$，也就是 $\overline{AX}:\overline{XE}=2:1$ 且 $\overline{CX}:\overline{XM}=2:1$。$Y$、$Z$ 都做不到這件事。

關鍵觀念：#重心 #中線判別

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