113學年鷺江國中第3次段考數學 第20題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把三個角補齊

   $\triangle ABC$ 是等腰三角形且 $\angle A=120°$。一個三角形不可能有兩個 $120°$ 的角，所以 $\angle A$ 一定是頂角，兩腰是 $\overline{AB}=\overline{AC}=5$。兩個底角 $\angle B=\angle C=\dfrac{180°-120°}{2}=30°$。
2. 2

   判斷外心在哪一側

   $\angle A$ 是鈍角，鈍角三角形的外心落在三角形外部，而且在 $\overline{BC}$ 的另一側。又因為 $\overline{AB}=\overline{AC}$，$\overline{BC}$ 的中垂線會通過 $A$，所以外心 $O$ 就在這條中垂線上，位於 $\overline{BC}$ 的下方。
3. 3

   求出 ∠OAB

   設 $M$ 為 $\overline{BC}$ 的中點，等腰三角形三線合一，$\overline{AM}$ 同時平分頂角，所以 $\angle BAM=\dfrac{120°}{2}=60°$。$O$ 在射線 $\overrightarrow{AM}$ 上，因此 $\angle OAB=\angle BAM=60°$。
4. 4

   推出正三角形

   $O$ 是外心，所以 $\overline{OA}=\overline{OB}$，$\triangle OAB$ 是等腰三角形，兩個底角相等：$\angle OBA=\angle OAB=60°$。於是 $\angle AOB=180°-60°-60°=60°$，三個角都是 $60°$，$\triangle OAB$ 是正三角形。
5. 5

   讀出距離

   正三角形三邊等長，所以 $\overline{OA}=\overline{AB}=5$。外心與 $A$ 點的距離是 $5$，故選 (C)。

關鍵觀念：#等腰三角形 #外心

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