113學年鷺江國中第3次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先確認直角在哪裡

   $9^2+12^2 = 81+144 = 225 = 15^2$，所以 $\overline{AB}=9$ 與 $\overline{BC}=12$ 是兩股，$\overline{AC}=15$ 是斜邊，直角在 $B$。$\triangle ABC$ 面積 $=\dfrac{1}{2}\times 9\times 12 = 54$。
2. 2

   算出內切圓半徑

   設內切圓半徑為 $r$，把內心連到三頂點得 $54 = \dfrac{1}{2}r(9+12+15) = \dfrac{1}{2}\times r\times 36 = 18r$，所以 $r = 3$。
3. 3

   檢查 (A) 與 (B)

   $\triangle AIB$ 以 $\overline{AB}$ 為底、高就是 $r$，面積 $=\dfrac{1}{2}\times 9\times 3 = 13.5$，不是 $9$，(A) 錯。$\triangle BIC$ 面積 $=\dfrac{1}{2}\times 12\times 3 = 18$，不是 $12$，(B) 錯。
4. 4

   檢查 (D)

   重心把三角形分成三個等面積的小三角形，所以 $\triangle AGB$ 面積 $=54\div 3 = 18$，不是 $9$，(D) 錯。
5. 5

   檢查 (C)

   直角三角形的外心在斜邊中點，所以 $O$ 是 $\overline{AC}$ 的中點。$\triangle AOB$ 與 $\triangle ABC$ 以 $B$ 為共同頂點、底分別是 $\overline{AO}$ 與 $\overline{AC}$，而 $\overline{AO}=\dfrac{1}{2}\overline{AC}$，所以面積是一半：$54\div 2 = 27$，與敘述相符，故選 (C)。

關鍵觀念：#直角三角形 #內心 #外心 #重心

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