113學年鷺江國中第3次段考數學 第17題 詳解

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逐步解析

1. 1

   甲：用中垂線的性質

   $L_1$ 是 $\overline{AB}$ 的垂直平分線，而中垂線上任一點到線段兩端點的距離相等。$P$ 在 $L_1$ 上，所以 $\overline{AP}=\overline{BP}$，(甲) 成立。
2. 2

   丙：用角平分線的性質

   角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。$P$ 在 $\angle BAC$ 的平分線上；又 $L_1\perp\overline{AB}$ 且交於 $R$，所以 $\overline{PR}$ 就是 $P$ 到 $\overline{AB}$ 的距離，而 $\overline{PS}\perp\overline{AC}$ 於 $S$，$\overline{PS}$ 是 $P$ 到 $\overline{AC}$ 的距離。兩段距離相等，$\overline{PR}=\overline{PS}$，(丙) 成立。
3. 3

   乙：先看有沒有根據

   要得到 $\overline{BP}=\overline{CP}$，$P$ 必須落在 $\overline{BC}$ 的垂直平分線上。但題目只說 $P$ 在 $\overline{AB}$ 的中垂線與 $\angle BAC$ 的平分線上，完全沒有條件保證它同時落在 $\overline{BC}$ 的中垂線上。
4. 4

   乙：舉個數字反例

   取 $\angle BAC=90°$、$\overline{AB}=4$、$\overline{AC}=3$，把 $A$ 放在原點、$B$ 在 $(4,0)$、$C$ 在 $(0,3)$。$\angle BAC$ 的平分線是直線 $y=x$，$\overline{AB}$ 的中垂線是直線 $x=2$，兩者交於 $P(2,2)$。此時 $\overline{AP}=\overline{BP}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$，但 $\overline{CP}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$\overline{BP}$ 與 $\overline{CP}$ 並不相等，(乙) 不成立。
5. 5

   下結論

   (甲) 與 (丙) 都成立、(乙) 不成立，所以三個推論中成立的是甲、丙，故選 (B)。

關鍵觀念：#垂直平分線 #角平分線 #全等三角形

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