113學年鷺江國中第3次段考數學 第22題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先讀出兩點的坐標

   把方格紙左下角的格線交點當原點，每格長 $1$、向右為 $x$ 正向、向上為 $y$ 正向。$O$ 在最底邊、往右數 $2$ 格的地方，記為 $O(2,0)$；$A$ 在往右 $3$ 格、往上 $3$ 格的交點，記為 $A(3,3)$。
2. 2

   求出外接圓半徑

   $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，代表 $\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}$，三段都是外接圓半徑。由畢氏定理，$\overline{OA}=\sqrt{(3-2)^2+(3-0)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
3. 3

   找出圓上其他的格線交點

   $B$、$C$ 也要落在格線交點上、且到 $O$ 的距離是 $\sqrt{10}$。因為 $10 = 1^2+3^2 = 3^2+1^2$，從 $O(2,0)$ 出發的位移只可能是「橫 $1$ 直 $3$」或「橫 $3$ 直 $1$」。方格紙只有 $7$ 格寬、$4$ 格高，逐一檢查這些位移後，留在紙上的交點只有 $(3,3)$（就是 $A$）、$(1,3)$ 與 $(5,1)$。
4. 4

   算出 AB 的兩種可能

   除了 $A$ 以外只剩兩個點，$B$ 只能是其中之一。若 $B(1,3)$，$\overline{AB}=\sqrt{(3-1)^2+(3-3)^2}=\sqrt{4}=2$；若 $B(5,1)$，$\overline{AB}=\sqrt{(5-3)^2+(1-3)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$。所以 $\overline{AB}=2$ 或 $\sqrt{8}$，故選 (B)。

關鍵觀念：#外心 #坐標幾何 #方格紙

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