113學年鷺江國中第3次段考數學 第23題 詳解

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逐步解析

1. 1

   正三角形的心都重合

   正三角形的內心、外心、重心是同一點，設這個中心為 $O$。內切圓半徑 $r$ 是 $O$ 到邊的距離，外接圓半徑 $R$ 是 $O$ 到頂點的距離。
2. 2

   重心的 2:1

   設 $M$ 是 $\overline{BC}$ 的中點，$\overline{AM}$ 既是中線也是高，$O$ 在 $\overline{AM}$ 上。重心把中線分成 $2:1$，所以 $R=\overline{OA}=\dfrac{2}{3}\overline{AM}$、$r=\overline{OM}=\dfrac{1}{3}\overline{AM}$，得 $R:r=\dfrac{2}{3}:\dfrac{1}{3}=2:1$，也就是 $R=2r$。
3. 3

   代入邊長驗算一次

   邊長 $14$，$\overline{BM}=7$，由畢氏定理 $\overline{AM}=\sqrt{14^2-7^2}=\sqrt{196-49}=\sqrt{147}=7\sqrt{3}$。於是 $R=\dfrac{2}{3}\times 7\sqrt{3}=\dfrac{14\sqrt{3}}{3}$、$r=\dfrac{1}{3}\times 7\sqrt{3}=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$，確實 $R=2r$。
4. 4

   面積比要平方

   圓面積 $=\pi\times(\text{半徑})^2$，所以內切圓面積 $:$ 外接圓面積 $=\pi r^2:\pi R^2 = r^2:(2r)^2 = 1:4$，故選 (C)。

關鍵觀念：#正三角形 #內切圓 #外接圓

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