113學年福和國中第2學期第1次段考數學 第22題 詳解

答案(1) $x=1$、$y=2$ (2) $x=2$、$y=-1$ (3) $x=-1$、$y=-1$ (4) $x=1$、$y=\dfrac{5}{2}$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   第一小題：代入消去法

   兩式是 $y=2x$ 與 $x+3y=7$。第一式已經把 $y$ 單獨表示成 $2x$，直接代入第二式：$x+3(2x)=7$，得 $x+6x=7$，也就是 $7x=7$，所以 $x=1$。再代回 $y=2x$ 得 $y=2\times 1=2$。驗算第二式：$1+3\times 2=1+6=7$，成立。這一組的解是 $x=1$、$y=2$。
2. 2

   第二小題：加減消去法直接相減

   兩式是 $3x-2y=8$ 與 $2x-2y=6$。兩式的 $y$ 項都是 $-2y$，係數完全相同，直接相減就能消掉：$(3x-2y)-(2x-2y)=8-6$，左邊 $3x-2x=x$、$-2y+2y=0$，得 $x=2$。代回 $2x-2y=6$：$4-2y=6$，兩邊同減 $4$ 得 $-2y=2$，所以 $y=-1$。驗算第一式：$3\times 2-2\times(-1)=6+2=8$，成立。這一組的解是 $x=2$、$y=-1$。
3. 3

   第三小題：湊係數後相減消 x

   兩式是 $5x+7y=-12$ 與 $2x-5y=3$。兩個未知數的係數都不成倍數，要先湊：第一式兩邊乘 $2$ 得 $10x+14y=-24$，第二式兩邊乘 $5$ 得 $10x-25y=15$。現在 $x$ 的係數都是 $10$，相減消去 $x$：$(10x+14y)-(10x-25y)=-24-15$，左邊得 $39y$，右邊得 $-39$，所以 $y=-1$。代回 $2x-5y=3$：$2x+5=3$，得 $2x=-2$、$x=-1$。驗算第一式：$5\times(-1)+7\times(-1)=-5-7=-12$，成立。這一組的解是 $x=-1$、$y=-1$。
4. 4

   第四小題：先去分母

   兩式含分數，要先化成整數係數。第一式 $\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}y=\dfrac{4}{3}$，分母 $2$、$3$、$3$ 的最小公倍數是 $6$，兩邊同乘 $6$：$6\times\dfrac{1}{2}x=3x$、$6\times\dfrac{1}{3}y=2y$、$6\times\dfrac{4}{3}=8$，得 $3x+2y=8$。第二式 $\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{5}y=1$ 兩邊同乘 $10$：$10\times\dfrac{3}{2}x=15x$、$10\times\dfrac{1}{5}y=2y$、$10\times 1=10$，得 $15x-2y=10$。等號右邊也一定要乘。
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   第四小題：相加消去 y

   現在 $3x+2y=8$ 與 $15x-2y=10$ 的 $y$ 項係數是 $+2$ 和 $-2$，互為相反數，直接相加就能消去 $y$：$(3x+2y)+(15x-2y)=8+10$，左邊得 $18x$，右邊得 $18$，所以 $x=1$。代回 $3x+2y=8$：$3+2y=8$，得 $2y=5$、$y=\dfrac{5}{2}$。驗算原本的第二式：$\dfrac{3}{2}\times 1-\dfrac{1}{5}\times\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1$，成立。這一組的解是 $x=1$、$y=\dfrac{5}{2}$。
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   四組答案整理

   第一小題 $x=1$、$y=2$；第二小題 $x=2$、$y=-1$；第三小題 $x=-1$、$y=-1$；第四小題 $x=1$、$y=\dfrac{5}{2}$。每一格都要 $x$、$y$ 同時寫對才算，所以每解完一組，務必把兩個數字一起代回原本的兩條式子檢查一次。

關鍵觀念：#二元一次聯立方程式 #代入消去法 #加減消去法