113學年鷺江國中第1次段考數學 第12題 詳解

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逐步解析

1. 1

   讀圖抓出半徑與母線

   圖上從頂點斜著畫到底面邊緣的那條線標示 $12$，它是圓錐的母線（展開後成為扇形的半徑），所以母線 $\ell=12$ 公分。另一條由底面圓心水平畫到底面邊緣的線段標示 $6$，那是底面半徑，所以 $r=6$ 公分。
2. 2

   拆開表面積

   圓錐展開後會變成一個底面圓加上一個扇形側面，所以表面積等於「底面圓面積」加上「側面扇形面積」，兩塊分開算再相加。
3. 3

   算底面圓

   底面圓半徑 $6$，面積為 $\pi r^2=\pi\times 6^2=36\pi$ 平方公分。
4. 4

   算側面扇形

   側面攤平後是扇形，它的弧長等於底面圓的周長 $2\pi r=12\pi$，半徑等於母線 $12$。扇形面積等於 $\dfrac{1}{2}\times$ 弧長 $\times$ 半徑 $=\dfrac{1}{2}\times 12\pi\times 12=72\pi$ 平方公分（也就是公式 $\pi r\ell=\pi\times 6\times 12=72\pi$）。
5. 5

   相加並檢查誤算

   表面積 $=36\pi+72\pi=108\pi$ 平方公分。常見的誤算有兩種：一是只算側面 $72\pi$ 就交卷，忘了底面那個圓，$72\pi$ 不在選項裡；二是把標示 $6$ 的線段當成直徑，取 $r=3$，算成 $\pi\times 3^2+\pi\times 3\times 12=9\pi+36\pi=45\pi$，同樣不在選項裡。仔細看圖，那條線段是從圓心畫到邊緣，所以 $6$ 是半徑。故選 (D)。

關鍵觀念：#圓錐 #表面積