113學年鷺江國中第1次段考數學 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   看清楚旋轉出什麼立體

   圖中的直角三角形，直角落在軸 $L$ 與水平底邊的交點上，也就是說有一股貼在軸 $L$ 上，另一股是那條水平底邊。以貼著軸的那一股為軸轉一圈，水平邊掃出一個圓，斜邊掃出側面，得到的立體是一個圓錐。
2. 2

   對應出半徑與母線

   水平底邊標示 $4$，它轉一圈就是圓錐的底面圓半徑，所以 $r=4$。斜邊標示 $8$，它從頂點連到底面圓邊緣，轉一圈掃出側面，所以斜邊就是母線，$\ell=8$。
3. 3

   分別算底面與側面

   底面圓面積 $=\pi r^2=\pi\times 4^2=16\pi$。側面扇形面積 $=\pi r\ell=\pi\times 4\times 8=32\pi$（也可用 $\dfrac{1}{2}\times$ 弧長 $\times$ 母線 $=\dfrac{1}{2}\times 8\pi\times 8=32\pi$ 檢驗）。
4. 4

   相加並檢查誤算

   表面積 $=16\pi+32\pi=48\pi$。最容易誤選的是 (A) $80\pi$：把圓錐的側面套成圓柱的側面公式，算成 $2\pi r\ell=2\pi\times 4\times 8=64\pi$，再加底面 $16\pi$ 就得到 $64\pi+16\pi=80\pi$；但圓錐側面是扇形不是長方形，公式沒有那個 $2$。另一個常見的錯是只算側面 $32\pi$ 忘了底面圓，$32\pi$ 不在選項裡。故選 (C)。

關鍵觀念：#圓錐 #旋轉體 #表面積