113學年鷺江國中第2學期第2次段考數學 第20題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先判斷 a 與 b 的正負

   $ab<0$ 表示 $a$ 與 $b$ 一正一負。$a+b<0$ 表示兩數相加後是負的，代表「絕對值比較大的那一個是負數」。而 $|a|<|b|$ 告訴我們絕對值比較大的是 $b$，所以負的那一個就是 $b$。結論是 $a>0$、$b<0$。
2. 2

   看 x 的係數與常數項

   方程式 $y=-ax-b$ 中，$x$ 的係數是 $-a$。因為 $a>0$，所以 $-a<0$，代表 $x$ 每增加 $1$，$y$ 就減少 $a$，圖形是一條往右下降的直線。常數項是 $-b$，因為 $b<0$，所以 $-b>0$，代表這條線和 $y$ 軸交在正的地方。用 $a=1$、$b=-2$ 檢查，方程式變成 $y=-x+2$。
3. 3

   檢查橫坐標為負的那一半

   第三象限的點必須同時滿足 $x<0$ 與 $y<0$。可是當 $x<0$ 時，$-ax$ 是負數 $-a$ 乘以負數 $x$，負負得正，所以 $-ax>0$；再加上正的 $-b$，得到 $y=-ax-b>0$。也就是說，只要 $x<0$，這條線上的點 $y$ 一定是正的。
4. 4

   確認其他三個象限都有經過

   再看另外三個象限。不必代數字：令 $x=0$ 得 $y=-b$，因為 $b<0$ 所以 $-b>0$，這條線交 $y$ 軸於正半軸；令 $y=0$ 得 $x=-\dfrac{b}{a}$，分子 $-b>0$、分母 $a>0$，所以交 $x$ 軸也在正半軸。兩個截距都落在正的一側，中間那段就在第一象限；從 $y$ 軸的交點往左上延伸進入第二象限，從 $x$ 軸的交點往右下延伸進入第四象限。這三段推論都只用到 $a>0$、$b<0$，和 $a$、$b$ 實際取多少無關。用 $a=1$、$b=-2$ 代進去檢查，$y=-x+2$ 交 $y$ 軸於 $(0,2)$、交 $x$ 軸於 $(2,0)$，確實如此。
5. 5

   下結論

   第一、第二、第四象限都有經過，而只要 $x<0$ 就一定 $y>0$，所以不可能出現在需要 $x<0$ 且 $y<0$ 的第三象限。故選 (C)。

關鍵觀念：#象限 #二元一次方程式圖形 #不等式