113學年福和國中第2學期第3次段考數學 第23題 詳解

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逐步解析

1. 1

   由總人數列關係

   表(一)七組的次數是 $3$、$5$、$a$、$b$、$2$、$1$、$2$，全班共 $25$ 人，所以 $3+5+a+b+2+1+2=25$，也就是 $a+b+13=25$，得 $a+b=12$。
2. 2

   把「一半以上」翻成不等式

   做題數量未達 $60$ 題的人，是 $30\sim40$、$40\sim50$、$50\sim60$ 這三組，共 $3+5+a=8+a$ 人。「一半以上」指超過全班的一半，全班 $25$ 人的一半是 $12.5$ 人，所以 $8+a>12.5$，也就是 $a>4.5$。人數是整數，因此 $a\geq5$。
3. 3

   把眾數條件列式

   眾數落在 $60\sim70$ 這一組，表示 $b$ 必須嚴格大於其他每一組的次數。其他各組是 $3$、$5$、$a$、$2$、$1$、$2$，所以需要 $b>5$ 而且 $b>a$。
4. 4

   把條件合起來解

   由 $a+b=12$ 和 $b>a$ 得 $b>6$，所以 $b\geq7$，也就是 $a\leq5$。再配上前面的 $a\geq5$，兩邊一夾只剩 $a=5$，於是 $b=12-5=7$。驗算：未達 $60$ 題的有 $3+5+5=13$ 人，$13>12.5$ 成立；$b=7$ 比 $5$、$5$、$3$、$2$、$1$、$2$ 都大，眾數確實落在 $60\sim70$ 這一組。故選 (C)。
5. 5

   其他三個答案錯在哪

   若 $b=5$ 則 $a=7$，此時 $a>b$，次數最多的變成 $50\sim60$ 那一組，眾數位置錯了。若 $b=6$ 則 $a=6$，$50\sim60$ 和 $60\sim70$ 並列最多，眾數不是唯一落在 $60\sim70$。若 $b=8$ 則 $a=4$，未達 $60$ 題的只有 $3+5+4=12$ 人，$12<12.5$，不到一半。

關鍵觀念：#次數分配表 #眾數 #不等式應用