113學年鷺江國中第2學期第3次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

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   看懂題目在問什麼

   全班 $29$ 人，每人投 $1$ 票且都必須投票，所以總票數固定是 $29$ 票，要從 $5$ 個地點中選出票數最高的 $3$ 個。「保證入選」的意思是：不管其他人怎麼投，只要拿到這個票數就一定排得進前三名。
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   想「最壞的情況」

   某個地點拿了 $v$ 票卻沒被選上，代表至少有 $3$ 個別的地點票數不低於它。注意「不低於」包含「票數和它一樣多」的情況，因為一旦出現多個地點並列，只取 $3$ 個時就可能輪不到自己。所以要找的是「最小的 $v$，讓這種情形不可能發生」。
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   用總票數算出門檻

   假設某地點拿 $v$ 票，而另外有 $3$ 個地點各拿不少於 $v$ 票，那麼這 $4$ 個地點合計至少要 $4v$ 票。全部只有 $29$ 票，所以 $4v\le29$，即 $v\le7.25$。$v$ 是整數，所以 $v\le7$ 時都還有可能發生「拿了這麼多票卻選不上」。
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   分別檢查 7 票與 8 票

   $7$ 票確實可能落選：把票分成 $7$、$7$、$7$、$7$、$1$，合計剛好 $29$ 票，四個地點並列 $7$ 票卻只能取 $3$ 個，拿 $7$ 票的地點不保證入選。改成 $8$ 票：其餘 $4$ 個地點合計只剩 $29-8=21$ 票，而要讓 $3$ 個地點都達到 $8$ 票需要 $3\times8=24$ 票，票數不夠，所以最多只有 $2$ 個地點能追平或超過它。
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   下結論

   拿到 $8$ 票時，其餘 $4$ 個地點合計只剩 $29-8=21$ 票，而要有 $3$ 個地點都追到 $8$ 票得花掉 $24$ 票，$21$ 票不夠。也就是說最多只有 $2$ 個地點的票數不低於它，名次至多第 $3$ 名，必然排進前三名。所以至少需要獲得 $8$ 票，才能保證入選為出遊地點。

關鍵觀念：#應用問題 #最小值 #邏輯推理