113學年鷺江國中第2學期第3次段考數學 第19題 詳解

答案(1) $\dfrac{6}{5}$ (2) $12$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   第一小題：用比設未知數

   由 $x:y=5:6$，表示 $x$ 與 $y$ 是 $5$ 與 $6$ 的同一個倍數，設 $x=5k$、$y=6k$（$k\ne0$）。這樣兩個未知數就只剩一個 $k$ 要解。
2. 2

   第一小題：代入求 k

   把 $x=5k$、$y=6k$ 代入 $2x+6y=460$：$2\times5k+6\times6k=460$，即 $10k+36k=460$，合併得 $46k=460$，兩邊同除以 $46$ 得 $k=10$。所以 $x=5\times10=50$、$y=6\times10=60$。
3. 3

   第一小題：算出所求的比值

   $(x+10):(y-10)=(50+10):(60-10)=60:50$，前後項同除以 $10$ 化成最簡整數比 $6:5$，比值就是 $\dfrac{6}{5}$。驗算：$2\times50+6\times60=100+360=460$，且 $50:60=5:6$，兩個條件都符合。
4. 4

   第二小題：整體代換

   觀察 $(x+y+4):(2x+2y)=2:3$，裡面的 $x$ 與 $y$ 永遠成雙出現：後項 $2x+2y=2(x+y)$。所以令 $s=x+y$，比例式就變成 $(s+4):2s=2:3$，只剩一個未知數。
5. 5

   第二小題：交叉相乘求解

   $(s+4):2s=2:3$ 交叉相乘得 $3(s+4)=2\times2s$，展開得 $3s+12=4s$，移項得 $12=4s-3s=s$，所以 $s=12$，也就是 $x+y=12$。
6. 6

   驗算並作答

   第二小題驗算：$x+y=12$ 時，$(x+y+4):(2x+2y)=16:24$，前後項同除以 $8$ 得 $2:3$，完全符合；且 $x$、$y$ 確實可以是正整數（例如 $x=5$、$y=7$）。兩小題的答案分別是：第 $(1)$ 小題比值為 $\dfrac{6}{5}$，第 $(2)$ 小題 $x+y=12$。

關鍵觀念：#比與比例式 #聯立方程式

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