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113學年鷺江國中第3次段考數學 第25題 詳解

平行尺原理素養題 · 填充 · 題目出處：113 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

答案(1) AD‾=BC‾\overline{AD}=\overline{BC} (2) AB‾=DC‾\overline{AB}=\overline{DC} (3) 兩雙對邊等長 (4) AD‾/ ⁣/BC‾\overline{AD}/\!/\overline{BC}看逐步解析 ↓

題目
平行尺是一種繪圖工具，由兩根等長的直尺組成，中間以兩組相同的連桿連接，形成平行四邊形結構。這種連桿設計使兩把尺在移動時能夠保持始終平行，方便繪製與參考線平行的直線。使用時，先將其中一把尺對齊參考線，接著握住另一把尺或兩端的連桿，使整組尺具平行滑動至需要的位置，然後沿著尺邊畫線，即可得到與原線平行的直線。平行尺常用於工程製圖、建築設計與航海地圖標線，可精確繪出多條方向一致的線條，是傳統製圖中不可或缺的工具之一。
下面左圖即為一把平行尺，右圖為其簡化的示意圖，試著觀察圖片並想看看，它能繪製出與參考線平行的直線，其背後的數學原理是什麼呢？（根據答案卷上的引導將最恰當的答案填入空格中）

（答案卷上的引導）在四邊形 ABCDABCD 中，因為　(1)　，且　(2)　（上下兩格答案可對調），所以根據　(3)　的判別性質，可推得四邊形 ABCDABCD 為平行四邊形，再利用平行四邊形對邊平行的性質，故　(4)　。
左圖為實物照片：一把平行尺，由兩根白色長條直尺以兩組金色連桿平行連接而成。右圖為簡化示意圖：上方一條水平線標示「尺」，線上有 $A$（左）、$D$（右）兩點；下方另一條水平線亦標示「尺」，線上有 $E$（左）、$B$（中左）、$C$（中右）三點；$A$ 與 $B$ 之間、$D$ 與 $C$ 之間各以一條標示「連桿」的斜線相連。

逐步解析

  1. 1

    把工具翻成圖形

    右圖中，上面那把尺上取 AA、DD 兩個接點，下面那把尺上取 BB、CC 兩個接點，兩根連桿就是 AB‾\overline{AB} 與 DC‾\overline{DC}。這四段圍成的就是四邊形 ABCDABCD。
  2. 2

    找出兩組等長

    兩把尺等長，而且連桿裝在兩把尺上的位置一樣，所以兩個接點之間的距離相等：AD‾=BC‾\overline{AD}=\overline{BC}。又因為是「兩組相同的連桿」，兩根連桿一樣長：AB‾=DC‾\overline{AB}=\overline{DC}。這兩件事就是空格 (1) 與 (2) 要填的內容，上下兩格對調也可以。
  3. 3

    套用判別性質

    四邊形的兩雙對邊分別相等時，它一定是平行四邊形。所以空格 (3) 要填「兩雙對邊等長」這個判別性質，由它推得四邊形 ABCDABCD 為平行四邊形。
  4. 4

    推回平行結論

    平行四邊形的對邊互相平行，所以 AD‾/ ⁣/BC‾\overline{AD}/\!/\overline{BC}，這就是空格 (4) 要填的結論，也就是上面那把尺的邊和下面那把尺的邊永遠保持平行。
  5. 5

    回到工具本身

    不管連桿轉到什麼角度，AD‾=BC‾\overline{AD}=\overline{BC} 與 AB‾=DC‾\overline{AB}=\overline{DC} 這兩件事都不會改變，所以 ABCDABCD 始終是平行四邊形，兩把尺始終平行。先用一把尺對齊參考線，再滑動另一把尺畫線，畫出來的自然是平行線。
答案
(1) AD‾=BC‾\overline{AD}=\overline{BC} (2) AB‾=DC‾\overline{AB}=\overline{DC} (3) 兩雙對邊等長 (4) AD‾/ ⁣/BC‾\overline{AD}/\!/\overline{BC}

關鍵觀念：#平行四邊形性質 #生活應用

常見卡點
空格 (1)(2) 是同一組條件的兩半，把 AD‾=BC‾\overline{AD}=\overline{BC} 寫在上面或把 AB‾=DC‾\overline{AB}=\overline{DC} 寫在上面都可以，不必糾結順序。真正容易寫壞的是 (3) 和 (4)：(3) 必須寫「兩雙對邊等長」這個判別性質，若寫成「兩雙對邊平行」就本末倒置了，因為平行正是最後要推出來的結論，不能拿來當理由；(4) 必須寫出平行的結論 AD‾/ ⁣/BC‾\overline{AD}/\!/\overline{BC}，只寫「是平行四邊形」等於把 (3) 的結果重抄一次，沒有回答為什麼畫得出平行線。

還是卡住嗎？

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