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113學年鷺江國中第3次段考數學 第19題 詳解

正方形對角線分段求值 · 填充 · 題目出處：113 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如下圖，四邊形 ABCDABCD 為正方形，若 AP‾=23\overline{AP}=23、PC‾=7\overline{PC}=7，則 BP‾=\overline{BP}=？
正方形 $ABCD$，$A$ 左上、$D$ 右上、$B$ 左下、$C$ 右下；兩條對角線 $\overline{AC}$、$\overline{BD}$ 交於中心點 $O$；$P$ 為對角線 $\overline{AC}$ 上、$O$ 與 $C$ 之間的一點。

答案1717看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    用正方形性質

    正方形的兩條對角線等長、互相垂直平分，交點 OO 同時是 AC‾\overline{AC} 和 BD‾\overline{BD} 的中點，而且 BD‾⊥AC‾\overline{BD}\perp\overline{AC}。
  2. 2

    算AO與OP

    PP 在 AC‾\overline{AC} 上，所以 AC‾=AP‾+PC‾=23+7=30\overline{AC}=\overline{AP}+\overline{PC}=23+7=30，得 AO‾=OC‾=15\overline{AO}=\overline{OC}=15。因為 PP 落在 OO 與 CC 之間，OP‾=AP‾−AO‾=23−15=8\overline{OP}=\overline{AP}-\overline{AO}=23-15=8。
  3. 3

    算BO

    BD‾=AC‾=30\overline{BD}=\overline{AC}=30，所以 BO‾=302=15\overline{BO}=\dfrac{30}{2}=15。
  4. 4

    用畢氏定理

    因為 BO‾⊥AC‾\overline{BO}\perp\overline{AC}，△BOP\triangle BOP 是直角三角形，兩股是 BO‾=15\overline{BO}=15、OP‾=8\overline{OP}=8，所以 BP‾=152+82=225+64=289=17\overline{BP}=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17。
答案
1717

關鍵觀念：#正方形對角線性質

常見卡點
最常見的錯是直接拿 AP‾=23\overline{AP}=23 和 PC‾=7\overline{PC}=7 套畢氏定理，算成 232+72=578\sqrt{23^2+7^2}=\sqrt{578}——但這兩段在同一條直線上，根本不是直角三角形的兩股。另一個錯是把 OP‾\overline{OP} 誤當成 PC‾=7\overline{PC}=7，得到 152+72=274\sqrt{15^2+7^2}=\sqrt{274}。解這種題要先標出交點 OO，用「對角線互相平分」求出 AO‾\overline{AO}，再減出 OP‾=8\overline{OP}=8。

還是卡住嗎？

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