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113學年鷺江國中第3次段考數學 第17題 詳解

平行四邊形垂線長求面積 · 填充 · 題目出處：113 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如下圖，四邊形 ABCDABCD 為平行四邊形，且 DF‾⊥AE‾\overline{DF}\perp\overline{AE}，已知 AE‾=9\overline{AE}=9，DF‾=11\overline{DF}=11，則 □ABCD\square ABCD 的面積為？
平行四邊形 ABCD，A 在左上、D 在右上、B 在左下、C 在右下；E 在底邊 BC 上（偏左）。圖中連有 AE；另由 D 連到線段 AE 上的一點 F（F 在 E 正上方一點點處），F 處畫有直角記號，表示 DF⊥AE。圖上未標示任何長度數字。

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逐步解析

  1. 1

    看清楚垂足

    圖上 EE 在 BC‾\overline{BC} 上，FF 在線段 AE‾\overline{AE} 上，而且 DF‾⊥AE‾\overline{DF}\perp\overline{AE}。換句話說，以 AE‾\overline{AE} 當底時，DF‾=11\overline{DF}=11 正好是 DD 到 AE‾\overline{AE} 的高。
  2. 2

    算三角形ADE

    △ADE\triangle ADE 以 AE‾\overline{AE} 為底、DF‾\overline{DF} 為高，面積 =12×9×11=992=49.5=\dfrac{1}{2}\times9\times11=\dfrac{99}{2}=49.5。
  3. 3

    換一個底再看

    同一個 △ADE\triangle ADE 也可以用 AD‾\overline{AD} 當底。因為 EE 在 BC‾\overline{BC} 上，而 AD‾/ ⁣/BC‾\overline{AD}/\!/\overline{BC}，這時的高就是兩條平行線之間的距離，也就是 □ABCD\square ABCD 的高。所以 △ADE\triangle ADE 的面積恰好是 □ABCD\square ABCD 的一半。
  4. 4

    乘回兩倍

    □ABCD\square ABCD 的面積 =2×49.5=99=2\times49.5=99。
答案
9999

關鍵觀念：#平行四邊形面積 #垂直線段

常見卡點
AE‾\overline{AE} 不是平行四邊形的邊、DF‾\overline{DF} 也不是它的高，所以直接把 9×11=999\times11=99 當成「底乘高」只是湊巧對上數字，想法是錯的，換個數字就會垮。正確路線是先用 12×9×11=49.5\dfrac{1}{2}\times9\times11=49.5 算出 △ADE\triangle ADE，再用「EE 在 BC‾\overline{BC} 上，△ADE\triangle ADE 佔平行四邊形一半」乘回 22。如果忘了乘回那個 22，就會填成 49.549.5。

還是卡住嗎？

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