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113學年鷺江國中第3次段考數學 第24題 詳解

等腰梯形對角線長求值 · 填充 · 題目出處：113 學年度第 2 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
如下圖，四邊形 ABCDABCD 為一等腰梯形，其中 AD‾/ ⁣/BC‾\overline{AD}/\!/\overline{BC}，已知 AD‾=7\overline{AD}=7，AB‾=5\overline{AB}=5，BC‾=13\overline{BC}=13，則 AC‾=\overline{AC}=？（答案需化成最簡根式）
等腰梯形 $ABCD$，$A$、$D$ 在上方（較短的上底，$A$ 在左、$D$ 在右），$B$、$C$ 在下方（較長的下底，$B$ 在左、$C$ 在右）；圖中連有對角線 $\overline{AC}$。

答案2292\sqrt{29}看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    先作兩條高

    由 AA 向 BC‾\overline{BC} 作垂線、垂足為 PP，由 DD 向 BC‾\overline{BC} 作垂線、垂足為 QQ。因為 AD‾/ ⁣/BC‾\overline{AD}/\!/\overline{BC} 且 AP‾\overline{AP}、DQ‾\overline{DQ} 都垂直 BC‾\overline{BC}，APQDAPQD 是長方形，所以 PQ‾=AD‾=7\overline{PQ}=\overline{AD}=7。
  2. 2

    算出BP

    等腰梯形左右對稱，所以 BP‾=QC‾\overline{BP}=\overline{QC}。又 BP‾+PQ‾+QC‾=BC‾=13\overline{BP}+\overline{PQ}+\overline{QC}=\overline{BC}=13，所以 BP‾=13−72=3\overline{BP}=\dfrac{13-7}{2}=3。
  3. 3

    算出高

    △ABP\triangle ABP 是直角三角形，斜邊 AB‾=5\overline{AB}=5、一股 BP‾=3\overline{BP}=3，由畢氏定理得高 AP‾=52−32=25−9=16=4\overline{AP}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4。
  4. 4

    在三角形APC算

    PC‾=BC‾−BP‾=13−3=10\overline{PC}=\overline{BC}-\overline{BP}=13-3=10，且 AP‾⊥BC‾\overline{AP}\perp\overline{BC}，所以 △APC\triangle APC 是直角三角形，AC‾=42+102=16+100=116\overline{AC}=\sqrt{4^2+10^2}=\sqrt{16+100}=\sqrt{116}。
  5. 5

    化最簡根式

    116=4×29116=4\times29，所以 AC‾=4×29=229\overline{AC}=\sqrt{4\times29}=2\sqrt{29}。
答案
2292\sqrt{29}

關鍵觀念：#等腰梯形性質 #餘弦定理或坐標法 #最簡根式

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常見卡點
最常見的錯是挑錯直角三角形：拿高 AP‾=4\overline{AP}=4 去配 BP‾=3\overline{BP}=3，算成 42+32=5\sqrt{4^2+3^2}=5，但那算回來的是腰 AB‾\overline{AB} 自己。對角線 AC‾\overline{AC} 要配的水平長度是 PC‾=PQ‾+QC‾=7+3=10\overline{PC}=\overline{PQ}+\overline{QC}=7+3=10，不是 33。另一個錯是算到 116\sqrt{116} 就交卷，沒化成最簡根式；看到根號內是 44 的倍數就要把完全平方數開出來，寫成 2292\sqrt{29}。

還是卡住嗎？

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