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114學年鷺江國中第2次段考數學 第20題 詳解

連乘分數化簡求值 · 填充 · 題目出處：114 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
計算 (1−12)×(1−13)×(1−14)×⋯×(1−110)(1-\dfrac{1}{2})\times(1-\dfrac{1}{3})\times(1-\dfrac{1}{4})\times\cdots\times(1-\dfrac{1}{10}) 的值＝____(10)____。

答案110\dfrac{1}{10}看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    每個括號先算出來

    1−12=121-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}、1−13=231-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}、1−14=341-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}，規律是 1−1n=n−1n1-\dfrac{1}{n}=\dfrac{n-1}{n}，也就是分子比分母少 11。
  2. 2

    排成一長串連乘

    原式 =12×23×34×⋯×910=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{4}\times\cdots\times\dfrac{9}{10}。最後一項是 1−110=9101-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}，整串從 12\dfrac{1}{2} 到 910\dfrac{9}{10} 共有 99 項。
  3. 3

    前後約分

    前一個分數的分母剛好等於後一個分數的分子：22 和 22、33 和 33、一直到 99 和 99，全部可以約掉，只剩下第一項的分子 11 和最後一項的分母 1010。
  4. 4

    寫出答案

    所以整串的值是 11×110=110\dfrac{1}{1}\times\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{10}。
答案
110\dfrac{1}{10}

關鍵觀念：#分數連乘 #規律化簡

常見卡點
第一步就算錯的人最多：把 1−1n1-\dfrac{1}{n} 寫成 1n−1\dfrac{1}{n-1}，整串就全走樣了。第二個誤算點是看到「乘」卻去通分相加，數字越滾越大反而算不完——連乘要找的是約分，不是通分。第三種是只看頭尾兩項就下結論，算成 12×910=920\dfrac{1}{2}\times\dfrac{9}{10}=\dfrac{9}{20}，把中間七項當成不存在。約分時記得逐項對齊，確認每個中間的數字都有一上一下配成對。

還是卡住嗎？

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