TutopiaTutopia 解題方城市 免費試用

114學年鷺江國中第2次段考數學 第7題 詳解

因數個數應用 · 單選 · 題目出處：114 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
若 nn 是正整數，36n\dfrac{36}{n} 也是正整數，則 nn 可能的值有幾個？
(A) 1010
(B) 99
(C) 88
(D) 77

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    看懂題目在問什麼

    36n\dfrac{36}{n} 是正整數，表示 nn 可以整除 3636，也就是 nn 是 3636 的正因數。所以題目其實是在問：3636 有幾個正因數。
  2. 2

    成對列出因數

    把 3636 拆成兩數相乘：1×361\times36、2×182\times18、3×123\times12、4×94\times9、6×66\times6，共五組。
  3. 3

    小心重複的那一對

    前四組各提供兩個不同的因數，共 88 個；第五組 6×66\times6 兩個數一樣，只能算一個。所以因數是 1,2,3,4,6,9,12,18,361,2,3,4,6,9,12,18,36，共 99 個。故選 (B)。
  4. 4

    用標準分解式驗算

    36=22×3236=2^2\times3^2，因數個數等於各指數加一再相乘：(2+1)×(2+1)=9(2+1)\times(2+1)=9，和列舉的結果一致。如果把五組都當成兩個因數，算成 5×2=105\times2=10 就會誤選 (A)；如果覺得 36÷36=136\div36=1 太理所當然而不把 3636 自己算進去，9−1=89-1=8 就會誤選 (C)。
答案
(B)

關鍵觀念：#因數 #整除性質

常見卡點
成對列因數很快，但平方數一定會出現「自己乘自己」的那一組。36=6×636=6\times6，這組只貢獻一個因數 66，若跟著前面每組算兩個，五組就變成 1010 個。判斷方式：只要這個數是完全平方數（44、99、1616、2525、36…36\ldots），因數個數必定是奇數。另外 11 和數字本身都是自己的因數，兩個都不能漏。至於 (D) 77，是把 11 和 3636 本身都當成不算數，9−2=79-2=7；但 11 和 3636 都是 3636 的因數，不能漏。

還是卡住嗎？

📸 上傳你的算式，邏輯貓頭鷹幫你找出是「哪一步」開始錯的——不只給答案，一步步教到你會。

直接丟一題試試 →

免費試用，不用先註冊；要送出時再登入即可・或先註冊領 20 枚圖圖幣