114學年鷺江國中第2次段考數學 第15題 詳解

答案$27\sqrt{3}$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   看懂六芒星怎麼組成

   由圖(六)：兩張邊長 $9$ 公分的正三角形一正一反疊在一起，中間重疊的部分就是虛線圍出的正六邊形，六邊形的每一邊往外又各頂出一個小正三角形，題目說這六個小三角形一樣大。所以整個六芒星可以拆成「一張完整的正三角形，再加上另一張露在外面的三個尖角」，這樣算最省事。
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   第一段：大三角形面積

   正三角形邊長 $9$，從頂點作高，高會平分底邊，半邊長是 $\dfrac92$。用畢氏定理算高：高的平方 $=9^2-\left(\dfrac92\right)^2=81-\dfrac{81}{4}=\dfrac{243}{4}$，所以高 $=\dfrac{9\sqrt3}{2}$。面積 $=\dfrac12\times9\times\dfrac{9\sqrt3}{2}=\dfrac{81\sqrt3}{4}$ 平方公分。
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   找出小正三角形的邊長

   兩張三角形交疊後，大三角形的每一邊被切成三段：中間那段是正六邊形的邊，兩端那兩段各是一個小正三角形的邊。六個小正三角形完全相同，所以兩端那兩段一樣長；而中間那段正好是貼在它外面那個小正三角形的底邊，也等於小三角形的邊長。三段一樣長，所以每段都是 $9\div3=3$ 公分，小正三角形的邊長是 $3$，小正三角形的邊長是 $3$。
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   算小正三角形的面積

   邊長 $3$ 的正三角形，同樣作高：高 $=\sqrt{3^2-\left(\dfrac32\right)^2}=\sqrt{9-\dfrac94}=\sqrt{\dfrac{27}{4}}=\dfrac{3\sqrt3}{2}$，面積 $=\dfrac12\times3\times\dfrac{3\sqrt3}{2}=\dfrac{9\sqrt3}{4}$ 平方公分。
5. 5

   第二段：合出六芒星

   六芒星的面積 $=$ 一張完整的大正三角形 $+$ 另一張露在外面的三個尖角 $=\dfrac{81\sqrt3}{4}+3\times\dfrac{9\sqrt3}{4}=\dfrac{81\sqrt3}{4}+\dfrac{27\sqrt3}{4}=\dfrac{108\sqrt3}{4}=27\sqrt3$。所以六芒星圖形的面積是 $27\sqrt3$ 平方公分。

關鍵觀念：#正三角形面積 #圖形交疊 #面積計算