114學年鷺江國中第2次段考數學 第8題 詳解

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逐步解析

1. 1

   看圖切出兩個直角三角形

   圖(一)中 $\overline{AD}\perp\overline{BC}$ 於 $D$，所以 $\overline{AD}$ 把 $\triangle ABC$ 切成左邊的 $\triangle ABD$ 和右邊的 $\triangle ACD$，兩個都是直角三角形，而且共用同一條股 $\overline{AD}$。$\overline{BD}=a$、$\overline{CD}=b$ 分別是它們的另一條股。
2. 2

   把高的平方寫兩次

   在 $\triangle ABD$：$\overline{AD}^2=\overline{AB}^2-\overline{BD}^2=5^2-a^2=25-a^2$。在 $\triangle ACD$：$\overline{AD}^2=\overline{AC}^2-\overline{CD}^2=(2\sqrt{10})^2-b^2=40-b^2$。注意 $(2\sqrt{10})^2=2^2\times10=4\times10=40$，外面的 $2$ 也要平方。
3. 3

   兩個式子相等

   因為算的是同一條 $\overline{AD}$，所以 $25-a^2=40-b^2$。把含字母的項移到一邊：$b^2-a^2=40-25=15$，換個方向寫就是 $a^2-b^2=-15$。
4. 4

   換回題目要的形式

   $(a+b)(a-b)$ 用平方差公式展開正好就是 $a^2-b^2$，所以 $(a+b)(a-b)=-15$。故選 (C)。

關鍵觀念：#畢氏定理 #母子相似性質 #平方差

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