114學年鷺江國中第2次段考數學 第10題 詳解

答案(1) $2\sqrt{35}$ (2) $-8\sqrt{3}-2\sqrt{5}$ (3) $\dfrac{\sqrt{17}}{2}$ (4) $-\dfrac{\sqrt{10}}{6}$ (5) $52$ (6) $\sqrt{10}+2\sqrt{2}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   甲：開出完全平方因數

   把根號內的數拆成「完全平方數 $\times$ 其他」：$140=4\times35$，所以 $\sqrt{140}=\sqrt{4\times35}=\sqrt4\times\sqrt{35}=2\sqrt{35}$。$35=5\times7$ 沒有完全平方因數，已經是最簡根式。第 (1) 格填 $2\sqrt{35}$。
2. 2

   乙：各自化簡再合併

   三項先各自化到最簡：$-6\sqrt{12}=-6\times2\sqrt3=-12\sqrt3$、$\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt3$、$\sqrt{20}=\sqrt{4\times5}=2\sqrt5$。只有同類方根能合併：$-12\sqrt3+4\sqrt3=-8\sqrt3$，而 $-2\sqrt5$ 沒有同伴，留著。第 (2) 格填 $-8\sqrt3-2\sqrt5$。
3. 3

   丙：帶分數先改假分數

   $4\dfrac14=\dfrac{4\times4+1}{4}=\dfrac{17}{4}$，所以 $\sqrt{4\dfrac14}=\sqrt{\dfrac{17}{4}}=\dfrac{\sqrt{17}}{\sqrt4}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$。$17$ 是質數，開不出東西。第 (3) 格填 $\dfrac{\sqrt{17}}{2}$。
4. 4

   丁：除法改成乘倒數

   除以 $\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt6}$ 就是乘以 $\dfrac{\sqrt6}{\sqrt{15}}$，負號先提到最前面。根號內全部相乘：$\dfrac53\times\dfrac{5}{12}\times\dfrac{6}{15}=\dfrac{25}{36}\times\dfrac{6}{15}=\dfrac{5}{18}$。所以原式 $=-\sqrt{\dfrac{5}{18}}=-\dfrac{\sqrt5}{3\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt5\times\sqrt2}{3\sqrt2\times\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt{10}}{6}$。第 (4) 格填 $-\dfrac{\sqrt{10}}{6}$。
5. 5

   戊：認出平方差公式

   兩個括號只差中間的正負號，套 $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$，其中 $A=3\sqrt6$、$B=\sqrt2$：$(3\sqrt6)^2-(\sqrt2)^2=9\times6-2=54-2=52$。第 (5) 格填 $52$。
6. 6

   己：分母有理化

   分母是 $\sqrt5-2$，分子分母同乘 $\sqrt5+2$：$\dfrac{\sqrt2(\sqrt5+2)}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)}=\dfrac{\sqrt{10}+2\sqrt2}{5-4}=\sqrt{10}+2\sqrt2$。第 (6) 格填 $\sqrt{10}+2\sqrt2$。六格依序是 $2\sqrt{35}$、$-8\sqrt3-2\sqrt5$、$\dfrac{\sqrt{17}}{2}$、$-\dfrac{\sqrt{10}}{6}$、$52$、$\sqrt{10}+2\sqrt2$。

關鍵觀念：#根式化簡 #根式四則運算 #分母有理化