114學年鷺江國中第3次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先化成同一個底數

   等號兩邊底數不同（$16$ 和 $8$），不能直接把指數拿來比。但 $16$ 和 $8$ 都是 $2$ 的次方：$16=2^4$、$8=2^3$，所以先把兩邊都改寫成以 $2$ 為底。
2. 2

   用次方的次方整理指數

   左邊 $16^{3x}=(2^4)^{3x}=2^{4\times3x}=2^{12x}$；右邊 $8^{3x+7}=(2^3)^{3x+7}=2^{3(3x+7)}=2^{9x+21}$。右邊展開時 $3$ 要乘進括號裡的每一項，$3\times7=21$ 不能漏。
3. 3

   同底比指數，解方程式

   底數都是 $2$ 了，兩邊相等就表示指數相等：$12x=9x+21$。兩邊同減 $9x$ 得 $3x=21$，再同除以 $3$ 得 $x=7$。故選 (C)。
4. 4

   驗算與兩個常見失誤

   驗算：$x=7$ 時左邊 $16^{21}=2^{84}$，右邊 $8^{28}=2^{84}$，兩邊相同，正確。兩個要避開的失誤：第一，底數還沒統一就直接比指數，寫成 $3x=3x+7$，會得到 $0=7$ 這種不可能的式子，這不是「無解」而是根本不能這樣比；第二，右邊括號展開時漏乘 $7$，寫成 $12x=9x+7$，會解出 $x=\dfrac{7}{3}$，不在選項裡，算到這個數字就代表 $3$ 沒有乘進括號的每一項。

關鍵觀念：#指數方程式 #化同底